内吸收多重非线性抛物组奇性解的渐近分析

论文摘要

本文研究几类具有内部吸收和耦合边界流的多重非线性抛物方程组奇性解的渐近行为，包括由不同非线性机制占优而导致的多重blow-up速率，非同时与同时blow-up等．首先讨论了一个具有混合型内部吸收与耦合边界流的多重非线性模型．通过引入特征代数方程组得到其blow-up临界指标的清晰刻画．特别引入包含两个新参数的另一类特征代数方程组用以刻画多重blow-up速率．非常有趣的是，这里得到了两个与吸收有关的blow-up速率，而现有文献中的所有blow-up速率结果都是与吸收无关的．为进一步分析这个现象到底来自混合型非线性还是耦合机制，又对比考虑了单一非线性耦合情形，同样得到与吸收有关的blow-up速率，从而确认耦合机制在这里所起的关键作用．此外，本文还分别讨论了（对称的）负-负源和（非对称的）正-负源的边界流耦合抛物方程组的非同时与同时blow-up问题，由此确定源的符号对引发非同时blow-up的影响．本文得到的主要结果概述如下：（Ⅰ）关于多重blow-up速率在第二章中，对于具有混合型内部吸收的方程ut=△u-a1um，vt=△v-a2env，（x，t）∈Ω×（0，T），附加边界条件（?）=epv，（?）=uq，（x，t）∈（?）Ω×（0，T）的问题，先根据比较原理建立blow-up临界指标，再利用Green表示公式和多重形式下的Scaling方法得到了上述问题在N=1（N表示维数）时的blow-up速率．需要提及的是，在现有文献中，吸收项会影响临界指标、blow-up时间以及blow-up解所需初值等等，但不影响blow-up速率，而这里得到的多重blow-up速率中有两种是与吸收有关的．第三章研究了具有幂型内部吸收的方程ut=uxx-a1um，vt=vxx-a2vn，（x，t）∈（0，1）×（0，T）经由边界条件ux（1，t）=vp（1，t），vx（1，t）=vq（1，t），ux（0，t）=0，vx（0，t）=0，t∈（0，T）耦合的初边值问题，得到基于非线性指标分类完全的多重blow-up速率，其中也有两种速率是与吸收有关的．这说明与吸收有关的blow-up速率是由耦合机制造成的．若p=q，m=n，初值u0（x）=v0（x），则方程组化为单个方程，而此时恰属于blow-up速率与吸收项无关的指标区域，进一步说明存在与吸收项有关的blow-up速率是耦合方程组区别于单个方程问题所特有的现象．（Ⅱ）关于非同时与同时blow-up第四章考虑了方程ut=uxx-λ1uα1，vt=vxx-λ2β1，（x，t）∈（0，1）×（0，T），附加边界条件ux（1，t）=vα2vp，vx（1，t）=uqvβ2，ux（0，t）=vx（0，t）=0，t∈（0，T）的解的非同时blow-up．首先借助对辅助问题的研究并引入截断函数得到一个基本引理，继而，结合Green表示公式和Scaling方法最终得到了存在初值发生非同时blow-up的充分必要条件，以及所有blow-up必为非同时blow-up的充分条件．第五章研究了ut=uxx+uα1，vt=vxx-vβ1，（x，t）∈（0，1）×（0，T）经由边界条件ux（1，t）=uα2vp，vx（1，t）=uqvβ2，ux（0，t）=（0，t）=0，t∈（0，T）耦合的方程组的解的非同时blow-up，得到了与第四章相对应的结果．两个分量u和v的非对称性导致了讨论过程和所得结果都较前一模型更为复杂．与第四章结果的对比可见源的符号对引发非同时blow-up的作用．

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 问题的背景及发展现状
• 1.2 本文主要内容介绍
• 2 具混合型吸收项与耦合边界流的抛物组的blow-up速率
• 2.1 问题介绍
• 2.2 Blow-up临界指标
• 2.3 多重同时blow-up速率
• 2.4 Blow-up集
• 2.5 注记
• 3 具单一幂型吸收项与耦合边界流的抛物组的blow-up速率
• 3.1 问题介绍
• 3.2 定理3.1的证明
• 4 负-负源类型抛物组的非同时blow-up
• 4.1 问题介绍
• 4.2 定理4.1的证明
• 4.3 定理4.2的证明
• 4.4 定理4.3的证明
• 4.5 注记
• 5 正-负源类型抛物组的非同时blow-up
• 5.1 问题介绍
• 5.2 发生非同时blow-up的必要条件
• 5.3 非同时blow-up的充分条件
• 5.4 只发生非同时blow-up的充分条件
• 5.5 注记
• 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表学术论文情况
• 致谢