某些随机非线性发展方程及无穷维动力系统的研究

论文摘要

在数学上,20世纪40年代日本数学家K.It（?）（参考文献[38,39],与此同时还有前苏联数学家Gikhman[30]）创立了关于Brown运动的随机微积分理论.之后由于随机分析,随机过程以及微分方程理论等工具的迅速发展和精确描述随机物理现象（诸如来自物理,化学,生物等方面的随机现象）的实际需求,在20世纪90年代,H.Crauel,F.Flandoli,R.Temam,L.Arnold,A.Debouard,A.Debussche,G.Da Prato,J.Zabczyk,等建立了随机非线性发展方程及无穷维随机动力系统的基本概念和理论框架.其中F.Flandoli,H.Crauel等对Burgers方程,Navier-Stokes方程,非线性波动方程,非线性扩散方程证明了整体随机吸引子的存在性.近年来随机微分方程作为交叉性学科有了迅速发展.本论文主要讨论了几类具有实际物理背景的无穷维随机演化方程.证明了这些随机演化方程解的适定性,并且在整体解存在唯一的前提下,讨论了解的长时间行为.本论文分为五章:第一章,介绍了随机微分方程研究进展,给出了有关随机动力系统的一些主要定义和主要结果,并阐述了本文的主要结果.第二章,分别考虑了带初边值的随机Ginzburg-Landau（GL）方程和广义随机GL方程解的长时间行为,验证了它们存在随机动力系统,并且证明了随机动力系统存在随机吸引子.第三章,考虑了带初值的弱阻尼,带外力的随机Korteweg-de Vries（KdV）方程,应用能量型的估计式以及KdV方程所具有的色散性质,证明了该问题弱随机吸引子的存在性.第四章,首先证明了带初值的随机Korteweg-de Vries Benjamin-Ono（KdV-BO）方程解的存在性,然后证明了弱阻尼带外力的随机KdV-BO方程对应的Cauchy问题的弱随机吸引子的存在性.第五章,考虑了随机长短波方程组,证明了解的局部存在性结果.

论文目录

• 摘要
• 第一章 绪论
• 1.1 随机微分方程的研究进展
• 1.1.1 随机微分方程的发展及应用
• 1.1.2 Brown运动驱动的随机微分方程及其解的定义
• 1.1.3 随机常微分程到无穷维随机微分方程
• 1.2 随机动力系统和随机吸引子
• 1.3 主要结果
• 第二章 随机Ginzburg-Landau方程
• 2.1 随机GL方程的吸引子
• 2.1.1 随机GL方程
• 2.1.2 预备知识
• 2.1.3 紧吸收集的存在性及主要结论
• 2.2 广义随机Ginzburg-Landau方程
• 2.2.1 广义随机GL方程的提出
• 2.2.2 预备知识
• 2.2.3 紧吸收集存在性及主要结果
• 第三章 随机KdV方程的吸引子
• 3.1 随机KdV方程的提出
• 3.2 预备知识
• 3.3 弱紧集的存在性及主要结果
• 第四章 随机KdV-BO方程
• 4.1 随机KdV-BO方程解的存在性
• 4.1.1 随机KdV-BO方程的提出及主要结果
• 4.1.2 先验估计
• 4.1.3 解的存在性的证明
• 4.2 弱阻尼随机KdV-BO方程解的长时间行为
• 4.2.1 弱阻尼随机KdV-BO方程的提出和主要结果
• 4.2.2 预备知识
• 4.2.3 紧吸收集的存在性
• 第五章 随机长短波方程组解的存在性
• 5.1 预备知识及主要结果
• 5.2 先验估计
• 5.3 局部存在性的证明
• 参考文献
• 博士期间发表论文列表
• 致谢