可压流体Navier-Stokes-Poisson方程强解存在唯一性

论文摘要

本文主要考虑了Navier-Stokes-Poisson方程径向强解存在唯一性问题,以及Navier-Stokes-Poisson方程和完全的Navier-Stokes方程强解的存在性结果.Navier-Stokes-Poisson方程具有很强的物理背景,主要可以描述天体星云在有粘性和有重力时的运动状态.而Euler-Poisson方程刻画星云运动时并没有考虑粘性的影响;Navier-Stokes方程也能反映宇宙中流体的运动状况,但Navier-Stokes方程并没有考虑流体自身重力对流体运动的影响.因此,Navier-Stokes-Poisson方程是比Navier-Stokes方程和Euler-Poisson方程更精确地刻画星云运动的数学物理模型.对于Euler-Poisson方程早在十九世纪已有大量研究,并且得到了很多有意义的结果,其中包括存在性,唯一性,稳定性,静态解的存在性,多解问题,有固核和无固核的径向解的存在性;而Navier-Stokes方程方程更是目前流体研究的热门之一,许多优秀的数学家都致力于这方面的研究,并且取得了许多结果,包括三维情形弱解的全局存在性,本质上有固核的径向弱解的全局存在性,以及一维情形强解的全局存在唯—性,解的大时间行为和一些稳定性结果,还有光滑解有限时刻爆破行为.这些研究在本文的参考文献中都可以查阅.但是对于Navier-Stokes-Poisson方程主要只有下面的少量结果:（1）[66]中关于有限能量弱解的全局存在性;（2）[81-82]中自由边界问题径向弱解的存在性;（3）[95]中给出了当粘性项消失时,确实Navier-Stokes-Poisson方程会收敛到Euler-Poisson方程.与Navier-Stokes方程及Euler-Poisson方程比较而言,Navier-Stokes-Poisson方程结果是很少的,既然Navier-Stokes-Poisson方程是更能精确描述星云运动规律的数学物理模型,自然我们想来探讨对于Navier-Stokes方程和Euler-Poisson方程成立的结果是否对Navier-Stokes-Poisson方程仍然成立.出于这种目的,本文对Navier-Stokes-Poisson方程进行了大量的研究,并取得了一些很有意义的结果.就研究方法而言,Navier-Stokes方程和Euler-Poisson方程主要是用紧性方法去处理弱解和强解的存在性问题,当然紧性方法也可以用于Navier-Stokes-Poisson方程解的存在性证明,并且我们用传统的紧性方法也进行了一些研究,主要得到了:（1）三维Navier-Stokes-Poisson方程有固核的径向强解的存在性;（2）一维Navier-Stokes-Poisson方程强解的全局存在性;（3）三维Navier-Stokes-Poisson方程强解的局部存在性等结果.紧性方法的主要思路是:（i）处理原系统的逼近系统的一致估计;（ii）利用逼近解所在空间的紧性对逼近解抽取收敛子列收敛到某—个极限函数;（iii）证明逼近解收敛到的极限函数为原系统的解.其中紧性方法难点之—是（iii）,为了克服或避免繁琐的紧性来得到收敛过程,在处理强解的方法上我们有所创新,我们引入了所谓的迭代方法,且用迭代方法我们得到关于Navier-Stokes-Poisson方程及完全的Navier-Stokes方程新的结果:（1）三维情形Navier-Stokes-Poisson方程强解的局部存在性及大时间爆破判据;（2）三维情形带能量方程的Navier-Stokes-Poisson方程的强解局部存在唯一性;（3）三维情形粘性项依赖于密度时完全的Navier-Stokes方程强解的局部存在性.我们引入的迭代方法的主要思路为:（i）考虑线性化系统强解的存在性;（ii）通过线性化系统构造迭代系统,并对迭代逼近系统的强解做一致估计;（iii）处理迭代逼近解序列的收敛性,具体地说,以完全的Navier-Stokes-Poisson方程为例,设{pk},{uk},{ek},{Φk}是我们考虑迭代逼近系统的逼近解序列,利用（ii）中的一致估计,通过处理迭代逼近系统相互作差所得的系统,可以得到下面的估计:通过这—估计,自然可以得到迭代解序列的强收敛性.与紧性方法相比,我们引入的处理强解存在性的新方法的主要优点在于我们处理逼近解的收敛性时,直接从迭代逼近系统的估计可以得到,从而避免了通过繁琐的紧性讨论来得到解的收敛性的过程.并且本文用迭代方法处理了带有热传导的能量方程的Navier-Stokes-Poisson方程强解问题,得到了较—般系统更具有意义和更新颖的结果.本文各章内容安排如下:第一章:引言.主要介绍物理背景,研究历史.第二章:基础知识.介绍本文的主要符号和所用的基本引理.第三章:用紧性方法处理三维情形Navier-Stokes-Poisson方程径向强解的存在唯一性.主要结果是:当初值满足0≤p0∈H1,u0∈H01∩H2且满足初值建立如下兼容性条件时,得到了Navier-Stokes-Poisson方程径向强解的存在唯一性.第四章:用紧性方法处理一维情形Navier-Stokes-Poisson方程全局强解的存在唯一性.主要结果是:当初值满足p0∈H1（0,1）,u0∈H01（0,1）,无需兼容性条件时,得到了1-维Navier-Stokes-Poisson方程全局强解的存在性;以及当初值满足p0∈H1,u0∈H01∩H2,且对初值建立如下兼容性条件时,1-维Navier-Stokes-Poisson方程正则性更高的强解存在唯一性.值得一提的是,这部分内容中,我们利用Lagrangian流的特点,把问题转化为Lagrangian流以后,证明了密度的全局有界性,正是由于该结果,才导致后面我们定理的结果.第五章:用紧性方法处理三维情形Navier-Stokes-Poisson方程局部强解的存在性,唯一性,稳定性.主要结果是:当初值满足p0∈W1,6,u0∈H01∩H2且对初值建立如下兼容性条件:时,得到了Navier-Stokes-Poisson方程的局部强解的存在性、唯—性、稳定性.第六章:用迭代方法处理三维情形Navier-Stokes-Poisson方程局部强解存在唯一性及大时间爆破判据.主要结果是:当初值满足p0∈W1,q,u0∈H01∩H2（3<q<+∞）且△Φ0=4πg（p0-（?））,对初值建立如下兼容性条件:时,Navier-Stokes-Poisson方程局部强解的存在唯一性及大时间爆破判据,并且揭示了兼容性条件与强解存在性之间的关系.第七章:用迭代方法处理带能量方程的Navier-Stokes-Poisson方程局部强解的存在唯—性.主要结果是:当初值满足p0≥0,p0∈W1,q,（e0,u0）∈H01∩H2且对初值建立如下兼容性条件:时,得到了完全的Navier-Stokes-Poisson方程的强解局部存在唯一性.第八章:用迭代方法处理完全的Navier-Stokes方程局部强解的存在唯一性.主要结果是:当初值满足0≤p0∈W1,q,（e0,u0）∈H01∩H2并对初值建立如下兼容性条件:时,得到了完全的Navier-Stokes方程粘性系数依赖于密度时的强解存在唯一性.

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 第一章 引言
• 第二章 基础知识
• §2.1 基本符号
• §2.2 基本引理
• 第三章 三维情形的Navier-Stokes-Poisson方程径向强解的存在唯一性
• §3.1 结构性条件及主要结果
• §3.2 主要结果的证明
• §3.3 弱一强解的唯一性证明
• 第四章 一维情形的Navier-Stokes-Poisson方程全局强解的存在唯一性
• §4.1 主要结果
• §4.2 光滑解的先验估计
• §4.3 存在性的证明
• §4.4 唯一性的证明
• 第五章 三维情形的Navier-Stokes-Poisson方程强解的适定性结果
• §5.1 主要结果
• §5.2 对光滑解的一些先验估计
• §5.3 局部存在性的证明
• §5.4 唯一性及稳定性的证明
• 第六章 三维情形的Navier-Stokes-Poisson方程强解的局部存在唯一性、大时间爆破判据
• §6.1 主要结果
• §6.2 线性化系统的全局存在性
• §6.3 对于一个正的密度局部存在性结果
• §6.4 主要结果的证明
• 第七章 三维情形的完全Navier-Stokes-Poisson方程强解的存在唯一性
• §7.1 主要问题及主要结果
• 0）'>§7.2 线性化问题的一些先验估计（v>0）
• §7.3 主要定理的证明
• 第八章 三维情形的粘性项依赖于密度的完全Naviver-Stokes方程强解的存在唯一性
• §8.1 问题简介及主要结果
• §8.2 线性化系统的估计
• §8.3 主要定理的证明
• 参考文献
• 致谢