两类数据深度及深度加权M估计

论文摘要

数据深度(或称为统计深度函数)作为一种多维数据的排序方法,已经被广泛应用于质量控制、多元回归、置信区域、聚类判别、非参检验和风险度量等众多领域.本文利用多元分析方法并结合凸分析方法,研究了两类数据深度,包括凸深度和投影型数据深度(包括弱投影深度和投影不变数据深度),提出了线性模型下基于数据深度的加权M估计。本文主要包括三大部分:1.提出了凸数据深度的定义,并指出其实际上为一种理想数据深度,证明了一种数据深度为凸深度的充要条件,并研究了凸深度的若干性质:拟凹性、截尾区域、中位数、加权均值和截尾均值。介绍了凸深度的三种构造方法。2.提出了投影型数据深度:弱投影深度(包含强投影深度)和投影不变数据深度。证明了数据深度为弱投影深度(包含强投影深度)和投影不变数据深度的充要条件,减弱了文献[93]中的定理2中关于强投影深度的充要条件,并指出了定理3中的一个遗漏条件。在实例的讨论中首次得到了半空间深度为强投影深度的实例。研究了文献[93]提出的广义数据投影深度和广义投影深度加权均值的若干稳健性质,丰富了现有文献的结论。3.首次提出了线性模型下基于数据深度的加权M估计,证明了该估计有不随空间维数变化的比较好的崩溃点,并讨论在误差序列为φ混合,φ混合,ρ混合,(?)混合序列和NA序列,在矩条件较弱的条件下得到了该估计的强相合性,在实质上改进了现有结论。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 概述
• 1.1.1 数据深度的一般定义
• 1.1.2 主要数据深度
• 1.2 数据深度的几种通常构造方法
• 1.3 本文的主要结果
• 1.4 主要符号表
• 第二章 凸深度
• 2.1 凸深度的定义
• 2.1.1 凸深度的定义
• 2.1.2 凸深度与Z-S深度
• 2.2 凸深度的若干性质
• 2.2.1 凸深度的拟凹性
• 2.2.2 凸深度的截尾区域
• 2.2.3 凸深度的中位数
• 2.2.4 凸深度加权均值和截尾均值
• 2.3 凸深度的构造方法
• 2.3.1 利用截尾区域构造凸深度
• 2.3.2 利用C型深度构造凸深度
• 2.3.3 利用D型深度构造凸深度
• 第三章 投影型数据深度
• 3.1 投影型深度的定义
• 3.2 投影型深度的判别方法与实例
• 3.2.1 投影型深度的判别方法
• 3.2.2 投影型深度的实例
• 3.3 广义投影深度和广义投影深度加权均值
• 3.3.1 广义投影深度和广义投影深度加权均值的定义
• 3.3.2 广义投影深度和广义投影深度加权均值的若干稳健性质
• 第四章 线性模型中的深度加权M估计
• 4.1 深度加权M估计的提出
• 4.2 深度加权M估计的崩溃点
• 4.3 深度加权M估计的强相合性
• 4.3.1 误差序列为ρ混合序列、φ混合序列和φ混合序列的情形
• ）混合序列的情形'>4.3.2 误差序列为（ρ|^）混合序列的情形
• 4.3.3 误差序列为NA序列的情形
• 第五章 主要创新及展望
• 致谢
• 参考文献
• 作者在攻读学位期间取得的学术成果