关于Lucas二项式系数同余定理的一些推广

论文摘要

二项式系数的各种同余性质是组合数论中最令人感兴趣的研究课题之一。自19世纪以来,诸多著名数学家如Guass,Legendre,Kummer等对此类问题进行了研究,并给出了许多经典的结果,Lucas在1878年得到的二项式系数同余定理就是其中最重要的结果之一。Lucas断言二项式系数具有Lucas性质:设n和k的p进制表示分别是n=n0+n1p+…+nrpr和k=k0+k1p+…+krpr,则二项式系数（n k）模p同余于诸二项式系数（niki）的乘积。此后有大量的文献涉及了Lucas定理的各种推广及应用。本文从一个全新的视角考察Lucas定理并给出其推广及应用:将二项式系数（n k）视为关于n和k的一个二元函数,它是很自然的引入具有Lucas性质的多元函数。本文将给出多元Lucas函数的各种判别法、例子及应用。二项式系数组成的Pascal三角有特别优美的结构,本文将其推广到一般的二元Lucas函数。 本文安排如下: 第一章主要介绍二项式系数同余性质的一些基本结果,如Legendre定理、Kummer定理、Lucas定理,并简要介绍了模素数幂的一些结果。 第二章通过引入了多元Lucas函数来推广Lucas定理。本章给出多元Lucas函数的判定法和例子,并用于简化或统一一些已知的结果。 第三章介绍Pascal三角模p的的自相似性结构及各种分布问题,并考虑一般二元Lucas函数模p的类似结构和分布问题。 第四章是对Lucas函数研究领域中存在的一些问题的进一步思考。

论文目录

• 第一章 综述
• §1.1 二项式系数同余性质的研究的发展
• §1.1.1 定义和符号
• §1.1.2 二项式系数模p问题
• j问题'>§1.1.3 二项式系数模素数幂p^j问题
• §1.2 本论文主要工作简介
• 第二章 Lucas函数
• §2.1 Lucas函数的定义和性质
• §2.2 关于Lucas函数的判定定理
• §2.2.1 相加法则
• §2.2.2 乘积法则
• §2.2.3 反演法则
• 第三章 Pascal三角和F-Lucas函数三角的图形
• §3.1 Pascal三角的图形
• §3.1.1 Pascal三角的自相似（self-similarity）
• §3.1.2 Pascal三角的分布
• §3.2 F-Lucas函数三角的图形
• §3.2.1 F-Lucas函数三角的自相似（self-similarity）
• §3.2.2 F-Lucas函数三角的分布
• 第四章 总结与展望
• 参考文献
• 硕士期间发表论文
• 致谢