非线性奇异摄动问题的再生核解法

论文摘要

奇异摄动微分方程广泛存在于许多科学研究和工程实践中,对其研究的深入程度和效果直接决定了解决这类科学和工程问题的好坏。奇异摄动问题的主要特征是具有多尺度。也就是说,此类问题存在很小的边界层。在边界层,解的变化特别快;在边界层以外的区域,解表现的很正常且变化很慢。奇异摄动问题在数值计算上存在困难,经典的数值方法往往不能够得到很好的数值模拟。在近代物理和科学工程计算中的一些关键问题都是非线性问题,而关于非线性问题的数值计算同样存在很多困难。因此,对非线性奇异摄动问题的研究日益引起人们的重视。近年来,为得到精确的解析解,很多学者提出了不少非经典的数值方法。本文首先介绍了再生核空间的相关基础知识,然后在再生核空间中讨论了一类非线性二阶奇异摄动边值问题的求解。对于此类问题,我们通过微分算子将其转化成算子方程形式,讨论了其解的数值逼近问题。我们以级数形式解析地给出了其精确解的表示;同时,通过对此级数进行截断得到其近似解。同其它的一些数值算法相比较,我们的方法在计算上很有优势,用较少的点即可得到其它算法用很多点才能得到的计算精度。文中还给出了一些数值算例来验证我们提出方法的精度。数值实验结果表明该方法是简单有效的。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 课题来源及研究的目的和意义
• 1.2 国内外在该方向上的研究现状
• 1.3 本文研究的主要内容
• 1.4 再生核理论的产生和发展
• 第2章 再生核基本理论
• 2.1 引言
• 21 [a,b] 的定义及基本性质'>2.2 再生核空间W₂1 [a,b] 的定义及基本性质
• 2³ [a,b] 的定义及基本性质'>2.3 再生核空间W₂³ [a,b] 的定义及基本性质
• 2.4 本章小结
• 第3章 求解非线性二阶奇异摄动边值问题
• 3.1 预备知识
• 3.2 方程（3-2） 的解
• 3.2.1 解的迭代
• 3.2.2 迭代序列的有界性
• 3.2.3 解析解与近似解
• 3.3 数值算例
• 3.4 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 致谢