论文题目: Riemann-Roch定理
论文类型: 博士论文
论文专业: 应用数学
作者: 杨松林
导师: 虞言林
关键词: 流形,近复流形,算子,算子,局部指标
文献来源: 苏州大学
发表年度: 2005
论文摘要: 经典的Riemann-Roch定理是十九世纪数学中的杰作,1954年,F.Hirzebruch把Riemann-Roch定理推广到高维,其证明的方法在微分拓扑和超越代数几何两方面都有深远的影响。而后,1958年Grothendieck把Riemann-Roch-Hirzebruch定理中全纯向量丛的Euler数的计算看作一个关于全纯映照的公式,该全纯映照建立流形之间某些上同调类的一个关系,即Riemann-Roch-Grothendiek定理。1963年M.Atiyah和I.M.Singer推广Riemann-Roch-Hirzebruch定理给出了Atiyah-Singer指标定理,取算子为（?）+（?）:∧0,*（M）→∧0,*（M）就得到紧复流形上的Riemann-Roch-Hirzebruch定理。整体的Atiyah-Singer指标定理对于流形上的一般的椭圆微分算子都成立,但对于椭圆微分算子的局部指标定理来说,只能对常用的各种微分算子分别进行处理,其证明有多种,通俗化了的方法是热方程方法.在局部指标定理的热方程方法证明过程中,用到算子平方的具体表达式,它们的一个明显特点是都没有一次导数部分,这一特性在证明中起关键作用,我们发现“一次导数部分”与联络的选取有关。 首先,借助于联络将流形上的二阶椭圆微分算子L表示为L=△0+bi▽EiL+c,进而利用复张量法讨论一类限制二阶自伴椭圆微分算子,证明:如果二阶椭圆微分算子L是复向量丛E上二阶自伴限制椭圆算子,则复向量丛E上存在Hermitian联络▽N使得算子L有Schr（?）dinger表达式,即L是广义的Schr（?）dinger算子。因此,我们证明了（?）+（?）#:∧0,*（M）→∧0,*（M）的平方是广义的Schr（?）dinger算子。 其次,在Spinc（2n）流形上,提升TM上一个非Levi-Civita联络的保度量联络▽B（=▽L+S（B）,S（B）是由奇形式B决定的1形式）到Spinc（2n）主丛Pspinc得到一个新的联络▽E,用B修正Dirac算子Ds得变形算子Ds+L,并用联络▽B给出扩展的Laplace-Beltrami算子△0E的渐近展开式, △0E=sum from i=1 to 2n(（?）2/（（?）yi2）-1/64 sum from （i,m,j,k,l,α,β）=1 to 2n(RjiklB（0）RimαβB（0）yjymekeleαeβ)+（X<2）。 采取热方程方法证明了Dirac算子Ds的局部指标定理: Loc.ind（Ds）=(e1/2c1·（?）（（RL）/（2π））)(E1,…,E2n)。 其中c1是Spinc（2n）结构中线丛的第一陈类。
论文目录:
引言
第一章 Spin~c流形和Dirac算子
第一节 Spin~c主丛上的Spin~c联络
第二节 Spin~c(2n)流形上的Dirac算子
第二章 近复流形和(?)+(?)~#算子
第一节 近复流形和近复联络
第二节 (?)和(?)~#算子
第三节 Riemann-Roch算子(?)+(?)~#
第三章 二阶椭圆微分算子
第一节 二阶椭圆微分算子
第二节 复向量丛上的协变导数
第三节 复向量丛上的一类椭圆算子的Schr(?)dinger表达式
第四章 Dirac算子的局部指标定理
第一节 Spin~c(2n)流形上的变形Dirac算子和Weitzenb(?)ck公式
第二节 法坐标系与展开式
第三节 Dirac算子的局部指标定理
第五章 Riemann-Roch算子的局部指标定理
第一节 近Hermitian流形和Spin~c流形的关系
第二节 近复联络、Hermitian联络与Spin~c联络的关系
第三节 Dirac算子和(?)+(?)~#算子的关系
第四节 K(?)hler流形的Riemann-Roch算子的局部指标定理
结论
参考文献
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致谢
发布时间: 2006-03-24
参考文献
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