论文摘要
本文旨在研究Volterra积分方程的机械求积法及其超收敛技术.众所周知,由于第一类弱奇异Volterra积分方程存在不适定性、核奇异性、解在初始点不光滑性,所以尽管已有众多文献研究,但迄今为止仍无成熟算法.本文拟给出解第一类弱奇异Volterra积分方程的高精度、低复杂度、低存贮量的算法,并且可以通过外推或组合技巧等加速收敛技术以提高精度.该方法具有后验误差估计和自适应功能,即可以在计算过程中检验计算精度是否达到要求以便构造自适应算法.本文算法将会使得具有奇异解的第一类弱奇异Volterra积分方程的计算复杂度大为改善,精度大为提高,抗噪性大为增强,程序更容易实现.本文首次从理论和方法上论述了解Volterra积分方程,尤其是第一类弱奇异Volterra积分方程的机械求积法及其外推和组合算法的可行性.由于第一类弱奇异Volterra积分方程是不适定问题,它的核是奇异的,解通常是非光滑的甚至是奇异的,所以本文提供的方法具有很高的理论与实用价值.本文首次综合了以下方法求解第一类弱奇异Volterra积分方程:(1)避开求解不适定问题,把第一类弱奇异Volterra积分方程转化为一个具有连续核与光滑右端函数的第二类Volterra积分方程,但是核和右端函数都是由弱奇异积分表示;(2)利用周期化方法与修正梯形公式得到了核与右端函数的高精度逼近值;
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