多尺度有限元方法的一些研究及应用

论文摘要

在当代科学与工程计算领域,许多重要的实际问题是复杂的多尺度问题,比如复合材料的热(电)性质、多孔介质的流体分析、湍流现象、集成电路设计、化学反应的时间尺度等等。多尺度问题的复杂性和多样性催生了各种自有特色的多尺度计算方法。本文利用求解局部偏微分方程获得的基函数具备良好的性态,该基函数由方程的微分算子性质所决定,可以自适应地将微观尺度的信息带入到宏观尺度。针对带多个尺度参数ε_k的强振荡变系数多尺度椭圆问题,重点研究多尺度有限元方法(MFEM)和单位分解法(PUM),大大减少了计算资源的消耗,并得到了精确的、收敛的数值结果。研究奇异摄动反应扩散问题的多尺度有限元解法,发现利用多尺度基改善了奇异摄动的边界层误差。我们给出了多尺度方法的数学理论,通过实验证明了该方法用有限的计算资源可以获得好的结果,并对算例结果做了相应的数值分析。多尺度有限元法通过在宏观尺度上求解多尺度基函数的局部方程,将微观尺度的信息带入基函数中,使得宏观粗网格的解具有良好的计算精度,能够节约大量的计算资源.单位分解法是一种重要的无网格方法,利用不依赖于网格的单位分解函数和灵活的局部逼近空间,可以从全局上很好地逼近未知解。本文获得了以下主要结果:1.使用多尺度有限元法求解强振荡变系数问题,在系数可分离变量时限定基函数的扰动边界条件所得到的结果精度更好,而且L~2范数不会出现负阶收敛。2.当系数非分离变量时,我们使网格边界以有理角或无理角穿越周期系数和非周期系数的场域,多尺度基扰动边界条件当ε_k→0时可以获得各方向上单元的完整信息因而有更好的求解精度;反之当ε_k(?)0且网格以无理角穿过场域时得到的单元信息不完全,这种情形下限定多尺度基线性边界条件才能获得更好的精度。3.用矩形2阶再生插值的单位分解方案处理强振荡变系数问题,与经典有限元法相比证明了单位分解法的效率更高,且有2阶收敛率。4.研究奇异摄动反应扩散问题,通过在边界层区域使用多尺度基函数、内部光滑区域使用标准线性基函数来构造多尺度有限元空间,探讨了适当厚度边界层区域的选取问题,使用多尺度有限元法在一致的粗网格获得了与ε大小无关的一致收敛结果。文章的创新之处在于针对多尺度有限元法的多尺度基函数,精心设计了系统的实验方案研究不同的线性边界条件与扰动边界条件的效果,针对周期函数和非周期函数的场域考虑尺度参数ε_k遍历性的影响,给出了具体环境下限定何种基函数边界条件的原则。针对奇异摄动反应扩散问题,在合适的边界厚度区域使用多尺度基可以改善边界层误差,在一致粗网格上得到了ε的一致收敛。文章的内容安排如下:第一章简要介绍多尺度问题背景和各种多尺度计算方法,并统一文章中用到的符号。第二章给出多尺度有限元法的理论基础,指出多尺度基的优点在于能够如实反映微分算子的性质如高阶振荡性,按尺度参数ε_k与网格步长h的大小关系分情形证明了多尺度解的H~1误差估计和L~2误差估计的收敛性定理。第三章使用多尺度有限元法求解强振荡变系数问题,对多尺度基函数的子问题定义线性边界条件与扰动边界条件。分别考虑系数可分离变量与非分离变量的情况,通过系统地研究数值实验给出了多尺度有限元法基函数最佳边界条件的选取原则。第四章针对强振荡变系数问题使用单位分解法,介绍该方法的理论基础,给出问题的矩形2阶再生插值的单位分解方案,通过实验验证了单位分解法处理变系数问题有良好的效果。第五章研究奇异摄动反应扩散问题,在边界区域利用多尺度基可以改善边界层误差获得高精度,多尺度有限元法可以在一致的粗网格上得到2阶收敛的L~2范数误差,1阶收敛的能量范数误差。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言:多尺度问题和多尺度方法
• 第二章 多尺度有限元方法
• 2.1 经典有限元理论
• 2.2 多尺度有限元法的理论基础
• 2.3 多尺度有限元法的收敛性分析
• 第三章 强振荡变系数问题的多尺度有限元方法
• 3.1 多尺度基函数的两种不同边界条件
• 3.2 变系数可分离变量的情况
• 3.3 变系数非分离变量的情况
• 第四章 强振荡变系数问题的单位分解法
• 4.1 单位分解法的理论基础
• 4.2 变系数问题的单位分解方案
• 4.3 数值实验
• 第五章 奇异摄动反应扩散问题的多尺度有限元解法
• 5.1 奇异摄动问题介绍
• 5.2 反应扩散模型和构造多尺度有限元空间
• 5.3 数值实验
• 总结与展望
• 参考文献
• 致谢
• 附录（攻读博士学位期间已发表和完成的论文）