几类向量变分不等式的研究

论文摘要

向量变分不等式理论是研究优化问题、微分方程、力学问题、对策论、控制论、均衡问题以及其他数学和工程领域中线性和非线性问题的有力工具,是目前应用数学领域中备受关注的热点之一。对这一问题的研究涉及到集值分析、凸分析、线性与非线性分析、非光滑分析、不动点原理等,有重要的学术价值。向量变分不等式解的存在性问题、向量变分不等式与向量优化有效解之间的关系、Stampacchia向量变分不等式和Minty向量变分不等式解之间的关系等问题在变分不等式理论中占有重要的地位。本文主要对上述三个问题进行较为深入的研究,并把前两个问题推广到黎曼流行上。具体内容如下:●把Minty向量变分不等式推广为Minty向量似变分不等式。讨论Minty向量似变分不等式与Stampacchia向量似变分不等式解、与向量优化问题有效解之间的关系,探讨不变凸集上的下Dini方向导数形式的Minty向量似变分不等式的解与向量函数沿射线递减性质、与向量优化问题有效解的关系问题,以及Minty向量似变分不等式解集的仿射性质等问题。给出一类Minty弱向量似变分不等式解存在的充分条件。●给出广义拟变分不等式解存在的充分条件。引入四类广义向量拟均衡问题,利用不动点原理,分别研究这四类向量拟均衡问题解存在的充分条件。定义四类广义向量拟似变分不等式,并给出它们解存在的充分条件。引进一类广义非线性向量似变分不等式,建立其解存在的充分条件。●在黎曼流形上引入Lipschitz函数的广义方向导数和广义梯度的概念,探讨它的一系列性质。利用Ekeland变分原理,讨论定义在黎曼流形上的非可微数学规划问题的必要最优性条件。在黎曼流形上引入不变凸函数的概念和向量变分不等式的概念,研究测地凸函数和不变凸函数一些性质,探讨与测地凸函数或不变凸函数有关的向量优化问题与向量变分不等式解的关系。建立定义在黎曼流形上的向量变分不等式解存在的充分条件。

论文目录

• 符号说明
• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• §1.1 预备知识
• §1.2 若干变分不等式的研究进展
• §1.3 内容安排
• 第二章 Minty向量似变分不等式
• §2.1 Minty与Stampacchia向量似变分不等式
• §2.2 Minty向量似变分不等式与向量优化问题
• §2.3 Stampacchia扰动向量似变分不等式
• §2.4 Minty向量似变分不等式解的性质
• §2.5 Minty弱向量似变分不等式解的存在性
• 第三章 广义向量拟变分不等式解的存在性
• §3.1 广义拟变分不等式解的存在性
• §3.2 广义向量拟均衡问题解的存在性
• §3.3 广义向量拟似变分不等式解的存在性
• §3.4 广义非线性向量似变分不等式解的存在性
• 第四章 黎曼流形上的向量变分不等式
• §4.1 黎曼流形上的非可微函数的广义梯度
• §4.2 黎曼流形上的多目标数学规划问题
• §4.3 黎曼流形上的测地凸函数
• §4.4 黎曼流形上的不变凸函数
• §4.5 黎曼流形上的向量变分不等式与向量优化问题
• §4.6 黎曼流形上向量变分不等式解的存在性
• 结束语
• 致谢
• 参考文献
• 在读博士期间撰写（发表）的论文
• 在读博士期间主持、参加的科研项目
• 在读博士期间获奖情况