论文摘要
自然界的许多物理现象、工程应用中的许多问题都可以用偏微分方程来描述。一般的偏微分方程没有解析解,所以讨论方程的数值解就显得尤为重要。传统的偏微分方程解法主要有:有限差分法、有限元方法、谱方法。前两种方法对不规则求解区域具有很强的灵活性,但计算量大且精度不高,而谱方法在线性、规则求解区域上具有很高的精度,但灵活性差。近年来,小波分析理论成为数学的一个重要分支,由于小波具有紧支集、高阶消失矩等优点,在偏微分方程的求解中具有特殊意义,因此人们开始将各类小波应用于偏微分方程的求解。本文将样条小波与有限元方法结合起来求解偏微分方程的边值问题,其中样条小波是在Powell-Sabin三角剖分上构造出的样条小波,这种小波具有紧支集、-正则性及C 1C1H 2?稳定性。由于我们的方法是样条小波与有限元方法的结合,所以我们的方法不仅保持了有限元方法的灵活性,也提高了数值解的精度、加快了解的收敛速度并减少了计算量,因此我们的方法具有广泛的应用价值。本文主要讨论了以下内容:1.简单介绍偏微分方程的传统解法及小波分析在求解偏微分方程中的应用;2.介绍Powell-Sabin元、Hermite剖分格式和多分辨分析的相关知识。这为本文构造小波基、求解偏微分方程奠定了基础;3.构造出具有紧支集、C 1?正则性及H 2?稳定性的样条小波,给出了三方网格上小波的显式表达式;4.运用样条小波法求解偏微分方程的Neumann边值问题,给出了解的收敛性及误差估计:能量模估计、模估计、L2 H ? q（整数）模估计。最后给出一个求解Laplace方程Neumann边值问题的例子。本文利用三角剖分上的样条小波法求解偏微分方程,这为讨论偏微分方程的数值解问题提出了新的研究思路。