论文摘要
图的谱理论是代数图论的主要研究领域之一，涉及图的谱和laplacian谱，前者起源于量子化学．1931年，E．Hückel提出了分子轨道理论，建立了分子轨道能级和分子图的谱之间的联系，大大推动了图的谱理论研究．图的谱理论主要是利用矩阵论，结合组合论和图的结构性质研究图的各种矩阵的谱，讨论这些谱与图的结构性质及图的不变量之间的关系．L．Collatz和U．Sinogowitz的数学论文“Spektren EndlicherGrafen”（1957）视为图的谱理论研究的开始，经过50余年的发展，图的谱理论已经成为代数图论中的一个研究热点，在许多自然科学领域有广泛应用．本论文研究了几类有一定化学与物理背景的曲面格子图（环面，Klein瓶以及柱面上的六角系统，4-8格图和4-6-8格图）的谱．通过商图的谱理论我们讨论了它们谱之间的关系．环面，Klein瓶以及柱面上的六角系统是六边形在相应曲面上的堆砌，而这三类曲面上的4-8（4-6-8）格图是由四边形和八边形（四边形，六边形和八边形）堆砌而成．全文共分为五章，第一章首先介绍了本文所用到的基本概念，术语和有关记号，其次介绍了图的谱理论的研究背景，问题的提出以及相关问题目前的研究进展，最后介绍了本文得到的主要结果．在第二章中，我们讨论了环面六角系统的谱．环面六角系统由三个参数p，q，t决定，记作H（p，g，t）（P≥1，q≥1，0≤t≤p-1）．利用块循环矩阵的理论，我们给出了环面六角系统H（p，q，0）的所有特征值的表达式：…，q-1．在此基础上我们利用二重积分的方法讨论了它的能量（所有特征值的绝对值的和）的渐近性：当p，g→∞时，H（p，q，0）的能量与9．8935pq等价．另外我们还证明了H（p，2，t）有零特征值的充要条件是p和t-2都能被3整除．在第三章中，我们利用商图理论讨论了环面六角系统和Klein瓶六角系统之间谱的关系．Klein瓶六角系统通常由两个参数p，q决定，记作K（p，q）（p≥1，q≥1）．因为一个图的商图的谱是这个图的谱的子集，我们通过H（p，q，t）和K（p，q）的公共商图，给出了它们2q个公共特征值λ=±（?）（k=0，1，…，q-1）．最后我们证明了这两类图的商图关系：根据，γ的奇偶性，K（p，q）分别是K（p，γq）和H（p，γq，p-γ/2q）的商图．第四章讨论了两类柱面上的六角系统的谱．利用商图理论我们给出锯齿形开口纳米管T（p，q）的谱半径的界：（?）>ρ（T（p，q））>（?），及长城形开口纳米管TA（p，q）的谱半径的解析表达式：ρ（TA（p，q））=2 cosπ/（q+3）+1．另外我们还计算出当p是奇数时，T（p，q）的零维数（零特征值的代数重数）等于零；当p是偶数时，T（p，q）的零维数等于2（q+1）．最后我们证明了T（p，q）和TA（p，q）分别是T（γp，q）和TA（γp，q）的商图．在第五章中，我们给出了环面4-8格图HG1（p，q，0）和4-6-8格图HG2（p，q，0）的特征多项式的因式分解形式，它们的因式分别是4次和6次．进而我们讨论了它们的公共特征值和零维数：当p是奇数时，HG2（p，q，0）的零维数为q+1；当p是偶数时，根据q是否是4的倍数，HG2（p，g，0）的零维数分别是2q+3和2q+1．最后，我们讨论了环面，Klein瓶以及柱面4-8格图和4．6-8格图的部分商图关系．