关于微分方程解和微分多项式的值分布

论文摘要

应用Nevanlinna理论的观点来研究复平面上微分方程．开始于1982年，Bank和Laine[5]发表在Tran．Amer．Math．Soc．上的一篇文章．自从这篇文章以后引起了大量的注意．他们研究了二阶复微分方程这里A（z）是一个整函数．直到现在，仍然有大量的研究集中在这类特殊的微分方程．最近的研究主要集中在以下三类问题．第一类是研究非平凡解的零点收敛指数（参考．[5，6，8]）；第二类是研究非平凡解的零点分布和它的（及其导数）渐近性（参考．[4，41，52]）；第三类是研究非平凡解的增长性（参考．[34，35]）．考虑方程（0．1）解的分布问题．当A（z）是多项式的情况已经相当清楚．这种情况首先被S．Bank和I．Laine研究，在[5]中，我们知道这里两个线性无关的解中至少存在一个解在某个角域里有无穷多个零点．在方程（0．1）中，如果A（z）是超越的情况，这时解的情况就变得非常复杂．这种情况下，目前最主要问题是Bank-Laine猜想：设f1，f2是方程（1．1）任意两个线性无关的解．如果A（z）的级是有限级或非整数，那么max{λ（f1），λ（f2）}=∞．这个猜想现在仍然没有解决．事实上，现在的大多数的研究者的许多研究或多或少都与这个猜想有些关系．（参考[47]，第五章）．而且，考虑方程（0．1）解的零点的分布和渐进性，这种情况下也比较复杂．这种情况下，没有得到一般性的结果．除了方程（0．1）的一些特殊情况，零点的丰富域（zero-rich）与稀少域（zero-scare）能够精确的确定．（见[4，41，52]）．第一章我们首先给出一些重要的准备工作．第二章我们将研究角域内高阶线性微分方程的解．设这里Aj（j=0，1，…，k-1）在角域（?）（α，β）里解析．由于对数导数引理在线性微分方程的研究方面起着重要的作用，我们首先给出高阶情况下的对数导数的逐点估计．然后在第一节，我们研究方程（0．2）解在角域内的增长性和解的导数渐进性．例如：定理0．1．设Aj（z）（j=0，1，…，k-1）在角域（?）（α，β）（0<β-α≤2π）内解析，如果对于任意的K>0及满足α<θ<β和的θ具有一正测度，那么方程（0．2）的任意解f（?）0都有pαβ（f）=+∞．定理0．2．设Aj（z）（j=0，1，…，k-1）在角域（?）（α，β）（0<β-α≤2π）内解析，使得对任意给定的常数K>0，如果z∈π（α，β）那么如果f（?）0是方程（0．2）的解满足pαβ（f）<∞，那么对于每个ε（0<ε<（β-α）/2），我们有f（m）（z）→0（m≥s）．在Ω（α，β）的任意子角域Ω（α+ε，β-ε）内成立．在第二节，方程（0．2）解的零点在角域的分布被研究．例如我们得到下述定理：定理0．3．设Aj（j=0，1，…，k-2）是有限级的整函数，如果在方程（0．2）中存在一个系数满足p0，θ（Aj）=∞，那么射线argz=θ是丰富的．另外，我们还研究含指数型系数特定方程的解径向零点收敛指数．得到如下结果：定理0．4．设P（z）和Q（z）是次数分别为n≥1和m≥0的多项式．设f1，f2，…，fk是下述方程的k个线性无关的解且令E=f1f2…fk．那么对任意的θ满足θ（P，θ）<0，我们有λθ（E）<∞．我们的结果一般化了伍胜健{58，59]，I．Laine[48]和王书培[56]的一些结果．在本章的第二部分，我还考虑了一系列非齐次方程相应的结果．第三章主要研究下述方程解的零点收敛指数这里k≥3，P（z）是次数n≥1的多项式．Q1，…，Qk-2是多项式．同时Q0是级小于n的超越整函数．对于这类方程．由于其系数含有指数型函数．从而具有一定的特殊性．其中二阶的情况首先被Bank和Langley在[5]中考虑，接着这个结果被Y.Chiang．I．Laine和王书培在[23]中改进．相关的结果还有高仕安等国内学者等考虑．在本章．我们给出保证方程（0．3）解的零点收敛指数为无穷的比较广泛的条件．证明了如下结果：定理0．5．假设k≥3．P（z）是n≥1次多项式．R（z），Q0是非零的多项式．Q1，…．Qk-2是不全为多项式的整函数，且σ（Qj）<n.j=0，1，…，k-2．则方程的任一非平凡解有λ（f）=∞．注意到在上述方程中δ（0，eP）=1，我们自然希望一般化eP（z）为亏值满足δ（0．A）=1的一般整函数A（z）．得到了稍微一般化的方程的一个结果：定理0．6．设A是级为λ的整函数且有限使得（?）（r，（1/A））=S（r．A）．另设Qj．j=0．1，…，k-2是整函数使得T（r，Qj）=S（r，A），j=0，1，…，k-2．假设k≥3，存在一个非平凡解，使得N（r，（1/f））=S（r，A）．那么A（z）无零点．而且这里存在一个多项式次数为λ的多项式P（z）使得．A（z）=expP（z）．同时，f无零点．第四章主要研究亚纯函数系数高阶微分方程解的增长性．一般来说，我们主要集中在研究整函数系数的微分方程．主要是由于在复方程的研究中，我们的主要工具是Wiman-Valiron理论，但是Wimaa-Valiron理论主要适用于超越整函数．对于超越的亚纯函数，我们采用王君和仪洪勋（见．[55]）获得的特殊形式Wiman-Valiron理论来研究方程解为无穷级的亚纯函数系数的高阶线性微分方程．我们的结果改进了G．Gundersen[34]和杨连中[67]的一些结果．定理0．7．设H是一个复数集合满足（?）{|z|：z∈H}>0，且设A0（z），A1（z），...，Ak-1（z），Ak（z）是整函数且A0（z）（?）0使得且对某常数0≤β<α和任意充分小的ε>0，我们有当z→∞，对于z∈H．那么方程的每个亚纯解f（?）0满足σ（f）=∞和σ2（f）=σ（A0）．第五章主要研究了某些微分多项式的值分布．我们的工作主要是给出了一些特定微分多项式f2f（k）-1的定量的估计．我们知道，E．Mues[51]首先得到此微分多项式的定性结果．后来张庆德[70]，黄小军和顾永新[45]用密指量分别在k=1，k≥2的情况进行了定理的估计．然而众所周知，Nevanliana第二基本定理可采用精简的密指量来估计．自然地，我们受此启发对这类微分多项式进行了一些定量的估计．在这章的最后，我们对微分多项式f2-f（k）-1进行了精确估计．我们的结果改进了陈怀惠，华歆厚，徐焱等的结果．例子证明我们的结果某种程度是精确的．

论文目录

• 中文部分
• 摘要
• 英文摘要
• 第一章 准备工作
• 1.1 Nevanlinna理论的基本结果
• 1.2 复振荡的一些结果
• 第二章 角域内线性微分方程的解
• 2.1 齐次的情况
• 2.1.1 解的增长性和渐近性
• 2.1.2 解的零点分布
• 2.2 非齐次的情况
• 第三章 高阶线性微分方程的复振荡
• 3.1 引言和定理
• 3.2 定义及引理
• 3.3 定理3.1的证明
• 3.4 定理3.2的证明
• 第四章 高阶亚纯函数系数的线性微分方程的增长性
• 4.1 引言和主要结果
• 4.2 引理
• 4.3 主要结果的证明
• 第五章 微分多项式的不等式
• 5.1 引言
• 5.2 引理
• 5.3 定理5.1的证明
• 5.4 定理5.2的证明
• 5.5 重要的注记
• 5.6 关于特定微分多项式的一个注记
• 参考文献
• 致谢
• 博士期间发表或接受的论文目录
• 学位论文评阅及答辩情况表
• 英文部分
• Abstract（in English）
• Chapter 1 Some preparations
• 1.1 Results from Nevanlinna Theorey
• 1.2 Facts from complex osciallation theory
• Chapter 2 Solutions of the linear differential equation in some angle
• 2.1 Homogeneous cases
• 2.1.1 The growth and asymptotic behavior of solutions
• 2.1.2 The zeros of solutions
• 2.2 Non-homogeneous cases
• Chapter 3 CompIex oscillation on the higher order differential eqantion
• 3.1 Introduction and results
• 3.2 Definition and Lemmas
• 3.3 Proof of Theorem 3.1
• 3.4 Proof of Theorem 3.2
• Chapter 4 Growth order of meromorphic solutions of higher-order linear differential equations
• 4.1 Introduction and main results
• 4.2 Lemmas
• 4.3 Proof of main results
• Chapter 5 Some Inequslities of differential polynomials
• 5.1 Introduction and results
• 5.2 Some Lemmas
• 5.3 Proof of Theorem 5.1
• 5.4 Proof of Theorem 5.2
• 5.5 Important Notes
• 5.6 A note on the certain differential polynomials
• Bibliography
• Acknowledgement
• List of Publications during Study for the Doctorate
• 学位论文评阅及答辩情况表