Banach空间奇异边值问题的解

论文摘要

近年来，由于在气体动力学、流体力学、边界层理论、非线性光学等应用学科的研究中具有较高的实用价值，Banach空间中的奇异边值问题逐渐成为国内外数学工作者和其他科技工作者所关心的重要问题之一（见[11]-[13]、[17]）。随着对该问题研究的深入，上下解方法、近似逼近方法、锥理论和拓扑度理论等新的研究方法也逐渐被用来论证奇异边值问题正解的存在性。本文则是在此基础上运用Sadovskii不动点定理、算子的不动点指数定理、锥拉伸与锥压缩不动点定理更深入地研究奇异边值问题。主要包括以下四个方面的内容：第一章考虑了Banach空间中二阶奇异脉冲积分微分方程初值问题正解的存在性，其中f（t，x，x′，Tx，Sx）在t=0，x=θ，x′=θ处具有奇异性（这里θ表示Banach空间E中的零元）。目前，对有关抽象空间中的奇异微分方程的研究还很少，尤其是非线性项，f（t，x，x′）在x=θ，x′=θ处有奇异性的研究仅见[6]等有限的几篇文献。因此，本章考虑了此问题，通过构造特殊的锥，来克服非线性项f（t，x（t），x′（t），（Tx）（t），（Sx）（t））在x=θ，x′=θ处的奇异性，然后利用Sadovskii不动点定理得到了正解的存在性。第二章在抽象空间E中考虑二阶微分方程奇异边值问题（BVP）的正解的存在性，其中，f∈C[（0，+∞）×P＼{θ}，P]，且在t=0，x=θ处具有奇异性。文[18]在纯量空间上考虑了类似的方程，并在次线性条件下得到正解的存在性和无界性。本章则是在抽象空间中运用算子的不动点指数定理，得到了方程正解的存在性。第三章研究了f依赖于高阶导数的边值问题利用控制函数及范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理得到边值问题的无穷多个正解的存在性，推广了文[8]的结果。第四章在边界条件u（2i）（0）=u（2i）（1）=0，0≤i≤n-1下考虑了第三章的方程，而且还加上了h（t）在t=0，t=1处具有奇异性。主要是通过定义算子（Aju）（t）=integral from n=0 to 1 Gj（t，s）u（s）ds把2n阶方程的解等价于二阶边值问题的解，并利用控制函数及锥拉伸与锥压缩不动点定理得到2n阶微分方程边值问题的无穷多个正解的存在性。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 前言
• 第一章 Bananch空间二阶奇异脉冲积分微分方程初值问题正解的存在性
• 1.1 引言及预备知识
• 1.2 正解的存在性
• 1.3 应用
• 第二章 Bananch空间半直线上奇异边值问题正解的存在性
• 2.1 引言及准备工作
• 2.2 主要结果
• 2.3 应用
• 第三章 高阶微分方程边值问题的多个正解的存在性
• 3.1 引言及准备工作
• 3.2 定理的证明
• 3.3 应用
• 第四章 Lidstone奇异边值问题的多个正解的存在性
• 4.1 引言及准备工作
• 4.2 引理及定理的证明
• 4.3 应用
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间发表或接受发表的论文