关于偏斜统计分布的若干研究

论文摘要

自从Azzalini介绍了关于偏正态分布的一些基本性质以来,许多基于某些对称分布的偏斜分布被大量研究。这类偏斜对称分布的类型不仅包括原对称分布,也有一些与原对称分布相同的性质。在本论文里,我们将主要内容分为四大部分：第一部分介绍偏斜正态分布及偏Cauchy分布,其中斜正态分布可以说是统计学发展过程中出现的一个具有挑战意义的分布。在这一部分里我们通过设置参数,定义一个斜正态分布的偏的类型并推导出它的一些性质。作为一个典型应用,我们给出偏斜正态分布在模拟学习中的应用实例。第二部分讨论斜t分布和偏斜t分布。众所周知,当自由度趋于无穷时,t分布的极限分布是正态分布。基于这个事实,我们可以根据斜正态分布给出斜t分布,进而由偏斜正态分布给出偏斜t分布,并研究这些分布的统计性质,如线性不变性和边际分布等。第三部分基于Laplace分布的对称性以及重尾性,我们定义出一个新的分布：斜Laplace分布,推导出这个新分布的密度函数和分布函数,讨论其参数估计等问题,并将其与Laplace及非对称Laplace分布进行比较。最后,选择上述部分偏斜分布应用于实际数据集,给出应用结果分析和讨论。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 研究的目的和意义
• 1.2 国内外研究现状
• 1.3 主要研究内容和结构安排
• 第二章 偏斜正态分布及偏Cauchy分布
• 2.1 多元正态分布
• 2.1.1 基本概念
• 2.1.2 基本性质
• 2.2 一元斜正态分布
• 2.2.1 密度函数和分布函数
• 2.2.2 期望和方差
• 2.3 偏正态分布
• 2.3.1 一元偏正态分布
• 2.3.2 多元偏正态分布
• 2.4 多元斜正态分布
• 2.4.1 密度函数及其性质
• 2.4.2 期望和方差
• 2.5 多元偏斜正态分布
• 2.5.1 密度函数及其性质
• 2.5.2 斜正态、偏正态及偏斜正态之间的关系
• 2.5.3 偏斜分布的等价性定义
• 2.5.4 期望和方差
• 2.6 多元偏斜正态分布的应用
• 2.6.1 在AIS数据中的应用
• 2.6.2 在玻璃纤维强度数据中的应用
• 2.7 偏Cauchy分布
• 2.7.1 Cauchy分布的概念
• 2.7.2 偏Cauchy分布
• 2.7.3 边际分布和条件分布
• 2.8 小结
• 第三章 斜t和偏斜t分布
• 3.1 多元斜t分布
• 3.1.1 密度函数
• 3.1.2 尾部性质
• 3.1.3 随机表示形式
• 3.1.4 矩
• 3.1.5 边际分布及线性组合
• 3.1.6 一元及二元情形下的密度曲线
• 3.2 多元偏斜t分布
• 3.2.1 标准多元偏斜t分布
• 3.2.2 多元偏斜t分布
• 3.2.3 一元及二元标准偏斜t分布密度曲线
• 3.3 偏斜t分布用于拟合玻璃纤维强度数据集
• 第四章 Laplace相关分布
• 4.1 Laplace分布
• 4.1.1 概率密度函数
• 4.1.2 累积分布函数
• 4.1.3 指数分布与Laplace分布之间的关系
• 4.1.4 正态分布与Laplace分布的比较
• 4.1.5 Laplace分布的数字特征
• 4.2 非对称Laplace分布
• 4.2.1 非对称Laplace分布的性质
• 4.2.2 非对称Laplace分布与指数分布的关系
• 4.3 斜Laplace分布
• 4.3.1 斜Laplace分布的密度函数及分布函数
• 4.3.2 期望和方差
• 4.3.3 参数估计
• 4.3.4 特征函数
• 4.3.5 与斜Laplace相关的分布
• 4.3.6 斜Laplace分布的统计应用
• 4.4 Levy偏稳定分布
• 4.4.1 Levy偏稳定分布
• 4.4.2 稳定性
• 4.4.3 特殊形式
• 4.4.4 各分布之间的关系
• 总结及展望
• 总结
• 展望
• 参考文献
• 攻读学位期间取得的研究成果
• 致谢