李群早期发展的历史研究

论文摘要

李群是一种有着深刻意义、在数学及物理学上有着重要应用的群,尤其是李群的表示理论,在数学中的分析学、微分几何、拓扑学以及物理学的量子力学中都有广泛而重要的应用。李群理论源于李将伽罗瓦解决代数方程可解性的理论向微分方程拓展的想法,并从产生起就与代数、分析和几何等紧密地联系在一起。李创立的连续变换群理论,经基灵、嘉当对半单李代数的分类研究和外尔创立的整体李群概念,在20世纪20年代发展成为现代的李群理论。到20世纪50年代中期,复和实的李群李代数理论显示出在数学中的核心地位,在理论和应用上已经产生多方面的影响。本文在研读大量原始文献和相关的历史研究文献基础上,从研究的动机、方法、方案及成果等入手,围绕对李、基灵和嘉当工作的比较研究,对李群理论的起源及创立、基灵和嘉当对半单李代数的分类等进行了系统的分析和研究,逐步得出涵盖这段李群发展历程的整体观点。全文主要讨论了以下问题:1.从几何学、微分方程和群论等方面,以数学学科整体发展的视角详细考察了李群创立的背景,并对切触变换的早期发展史进行了系统的梳理。2.以切触变换在李群创立中的作用为主线,以李的动机——将伽罗瓦理论应用到微分方程——为中心,探讨了变换群理论的创立,揭示了李的切触变换研究的重要意义。3.对李的变换群理论研究目的、研究方案和研究特色进行深入分析,指出确定变换群的类型和结构仅是李研究微分方程的中间过程,并不是李的根本目标,他对变换群的分类方法仍属平凡分类的范畴。4.对基灵的工作进行了详细解读,并将之与李进行比较研究,认为他们面临的问题相同,但由于根本出发点不同,基灵转向了李代数的研究。5.细致的考察了嘉当的博士论文,分析了嘉当对李和基灵工作的理解和评价,在此基础上,揭示了嘉当的工作对李群早期发展的重要意义,剖析了嘉当给出半单判据和可解判据的历史原因。6.提炼并概括出早期李群向现代李群发展中的三个重要转折点及其重要意义,分析了现代李群的必要发展要素,揭示出现代数学发展的趋势。7.在高观点下理解数学和还原性的理解数学基础上,提出将二者融合的数学史研究观点,并在本文的对比研究中充分运用和论证,形成数学史研究的一种整体史观。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 引言
• 1 李群的理论背景
• 1.1 几何学背景
• 1.2 偏微分方程的发展
• 1.3 群论的发展
• 1.4 不变量及其理论的推广
• 2 李群理论的开创时期
• 2.1 对索福斯·李生平的评注
• 2.2 李的早期工作（1870-1880）
• 2.3 李的变换群研究的详细分析
• 3 基灵——结构理论的奠基和分类研究的创始
• 3.1 基灵小传
• 3.2 基灵在李群李代数方面的贡献
• 3.3 基灵对李群分类的意义
• 4 é.嘉当——分类的彻底完成与表示论的开创
• 4.1 é.嘉当小传
• 4.2 嘉当对复单李代数的完整分类
• 4.3 嘉当的后续工作
• 5 现代李群理论——通向更广泛的研究领域
• 5.1 希尔伯特第五问题——对李群基础的思考
• 5.2 现代李群理论的发端
• 结论
• 参考文献
• 致谢
• 攻读学位期间取得的科研成果清单