椭圆曲线求阶算法的研究

论文摘要

1985年, Neal Koblitz和Victor Miller分别独立地提出了利用椭圆曲线设计公钥密码体制。此后关于椭圆曲线密码安全性和有效实现的大批研究成果被发表出来。在众多的公钥密码体制中,椭圆曲线公钥密码以其独特的优势成为公钥密码研究中的热门。但是相对于其它公钥密码体制来说,如何选取安全的椭圆曲线参数这一问题目前还是一件困难的事情。对于这个问题,我们需要求得给定椭圆曲线的阶,并将其作为判断一条椭圆曲线是否安全的重要依据。所以本文以椭圆曲线公钥密码体制(ECC)为研究对象,内容包括与椭圆曲线公钥密码相关的数学概念、加密解密算法以及椭圆曲线求阶算法。论文的主要工作如下:本论文详细介绍了椭圆曲线的求阶算法Schoof算法及其改进SEA算法。将袋鼠算法和大步小步法用于对Schoof算法的加速。实验结果表明,这两种加速算法能使Schoof算法的运行时间大大降低。而在SEA算法中,讨论了它的两种实现方法,实验结果表明当仅使用Elkies素数的时候,SEA算法运行时间更短。

论文目录

摘要

ABSTRACT

第一章绪论

1.1 引言

1.2 选题背景和意义

1.3 论文安排和主要的研究成果

第二章椭圆曲线数学基础

2.1 群

2.1.1 群的概念及有关性质

2.1.2 同态和同构

2.2 环和域

2.3 有限域

2.4 多项式环

第三章椭圆曲线加密算法

3.1 椭圆曲线的概念

3.2 简化的Weierstrass 方程

3.3 群的运算法则

3.4 群的阶

3.5 椭圆曲线的加密解密算法

第四章安全的椭圆曲线

4.1 Pohlig- Hellman 攻击

4.2 Pollard ' s rho 攻击

4.3 索引攻击

4.4 同构攻击

4.5 安全椭圆曲线的选择标准

第五章椭圆曲线求阶算法

5.1 有效的椭圆曲线求阶算法

5.2 Schoof 算法简介

5.3 除法多项式

5.4 对Schoof 算法进行加速的两种方法

5.4.1 两种算法的比较

5.4.2 对Schoof 算法的加速

5.4.3 Schoof 算法的软件实现

5.5 模多项式

5.5.1 模多项式的计算

5.5.2 模多项式的编程实现

5.6 SEA算法

5.6.1 算法简介

5.6.2 Elkies 素数的处理

5.6.3 Atkin素数的处理

5.6.4 SEA算法最后的步骤

5.6.5 进一步的研究

第六章今后的工作

参考文献

附A BSGS 算法程序代码

附B SEA 算法的实验数据

读研期间发表的论文

致谢

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