指数4情形下高斯和的决定

论文摘要

高斯和是数论中一个基本而重要的研究对象和基本工具。而高斯和明显表达式的计算是一个重要却又十分困难的问题，不仅在数论和算术几何中具有理论价值，而且在计算机科学、信息科学、组合学与试验设计等方面有实际的应用。从高斯本人开始，就有许多数学工作者致力于决定高斯和值的研究。可是，能够明显决定高斯和的情形很少。目前，学术界有两个研究方向：一是当高斯和的次数较小时，利用低次数域相对简单的算术性质，决定高斯和的明显表达式；另一个是通过Galois理论，分析分圆域及其子域的算术性质。当指数r为较小的自然数时，通过研究r次数域的算术性质来计算高斯和。近年来，人们对“指数2”情形，算出了高斯和的明显表达式。本文对于“指数4”情形给出高斯和的计算公式。根据高斯和中乘法特征的次数N为奇数或偶数，分为两种情况讨论。当N为奇数时，高斯和属于某个虚四次阿贝尔数域K。我们首先用Stickelberger定理给出高斯和在K中的素理想分解；然后按K的伽罗华群为4阶循环群或两个2阶循环群的直积两种不同情形，得到不同类型的计算公式。对于循环情形，高斯和由一个二次方程组的整数解所决定，并且与K的相对理想类数有关。对于非循环情形，子情形较多，但计算公式较为简单，并与K的两个虚二次子域的理想类数有关。其中，关于高斯和符号的决定，我们用了两种不同的方法得到了一致的结论，而后者更为明确简洁和统一。当N为偶数时，高斯和仅部分属于域K，另一部分的可计算性归结于IF_p上低次高斯和的可计算性。我们对N为2的方幂的情形，同样分循环和非循环情形给出了高斯和的计算公式。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 引言
• 1.1 选题背景及意义
• 1.2 国内外研究历史与动向
• 1.3 本文的研究目的与结构安排
• 第2章 基本概念与预备知识
• 2.1 高斯和的基本性质与相关定理
• 2.2 "指数2"情形下高斯和的决定
• 2.2.1 N为奇数时高斯和的决定
• t（t≥3）时高斯和的决定'>2.2.2 N=2^t（t≥3）时高斯和的决定
• 2.3 "指数4"情形下高斯和的分类
• 2.3.1 N为奇数时的分类情况
• t（t≥4）时的分类情况'>2.3.2 N=2^t（t≥4）时的分类情况
• 2.4 四次循环域的整基
• 第3章 指数4情形下高斯和的决定（Ⅰ）:N为奇数
• 3.1 循环情形
• 3.1.1 定理A的陈述
• 3.1.2 定理A的证明
• 3.1.3 两个例子
• 3.2 非循环情形
• 3.2.1 定理B的陈述
• 3.2.2 定理B的证明
• 3.2.3 两个例子
• 3.3 符号决定问题的再讨论
• t'>第4章 指数4情形下高斯和的决定（Ⅱ）:N=2^t
• 4.1 p≡7（mod 16）（循环）的情形
• 4.1.1 p≡7（mod 16）时,高斯和G（x）的计算
• r）（14.1.2 p≡7（mod 16）时,高斯和G（X^r）（1
• 4.2 p≡9（mod 16）（非循环）的情形
• 4）的计算'>4.2.1 p≡9（mod 16）时,高斯和G（X⁴）的计算
• r）（1≤r4.2.2 p≡9（mod 16）时,高斯和G（X^r）（1≤r
• 4.3 高斯和计算结果的一个应用
• 第5章 结论
• 5.1 论文的主要工作
• 5.2 论文的创新点
• 5.3 进一步可开展的工作
• 参考文献
• 致谢
• 个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果