论文摘要
曲面Fullerene图是嵌入到曲面上的3-正则有限图,它的每个面的边界为5长或6长圈.这样的嵌入只能在球面、环面、克莱因瓶和射影平面上实现,其五边形面的个数分别为12,0,0和6.而球面Fullerene图就是通常的Fullerene图,即碳族Fullerene的分子图.关于Fullerene图的与匹配理论相关的问题已得到广泛关注和研究.本文分四章对曲面Fullerene图进行了研究.我们确定了环面、克莱因瓶和射影平面Fullerene图的环边连通度,利用这些关于环边连通度的结果,证明了球面、射影平面Fullerene图及部分非二部克莱因瓶Fullerene图中每个六边形都是共振的,进而讨论了球面Fullerene图的κ-共振性,表明了球面Fullerene图是3-共振的当且仅当它是κ（κ≥3）-共振的;最后证明了含非退化环6-边割的球面Fullerene图是哈密尔顿图.第一章概述了关于Fullerene图的应用背景及研究进展,提出了本文研究的主要问题,介绍了本文的主要结果.第二章主要研究了曲面Fullerene图的环边连通度.如果图G中不存在少于κ条边的边割X,使得G-X的分支中至少有两个分支含有圈,则称G是环κ-边连通的;使G为环κ-边连通的最大正整数κ称为G的环边连通度.T.Do（?）li（?）于2003年证明了球面Fullerene图的环边连通度为5.张和平和张福基利用Fullerene图的环4-边连通性揭示了它的2-可扩性,进而给出了其完美匹配个数的一个已知最好的一般下界.我们证明了一般三次图的环边连通度等于其环连通度,对Do（?）li（?）关于Fullerene图环边连通度为5的结果给出了一个简化证明,特别是确定出了其余三种曲面Fullerene图的环边连通度,证明了射影平面Fullerene图的环边连通度也是5.第三章主要研究了曲面Fullerene图的κ-共振性.我们首先给出了一个一般结果:对于一个含有6长圈的环4-边连通3-正则图G,从G中删除任意一个6长圈所得的子图或者有完美匹配,或者是二部图.利用该结果及曲面Fullerene图的环边连通度,我们得到球面、射影平面Fullerene图以及非二部克莱因瓶Fullerene图Ko（κ,q）（κ≥4,q≥2）中的每个六边形都是共振的,即关于某个完美匹配交错.如果曲面Fullerene图任意不超过κ个互不相邻的六边形都能同时关于其某个完美匹配交错,则称该曲面Fullerene图是κ-共振的.环面、二部克莱因瓶Fullerene图的κ-共振性已得到完全刻画.我们重点讨论了球面Fullerene图的κ-共振性,证明了Leapfrog Fullerene图都是2-共振的,同时指出非2-共振的球面Fullerene图大量存在,用两个特殊的子图作为“帽子”可以构造出任意长的非2-共振纳米管（管状Fullerene图）,并对κ（κ≥3）-共振球面Fullerene图进行了完全刻画,证明了3-共振球面Fullerene图只有9个,并给出了这些图的具体结构,而且验证了它们都是κ（κ＞3）-共振的,由此得到:球面Fullerene图是3-共振的当且仅当它是κ（κ≥3）-共振的.最后,第四章主要讨论了Fullerene图的哈密尔顿问题.Barnette早在1969年就提出了每个面的边界是最长为6的圈的3-连通平面三次图一定包含哈密尔顿圈的猜想.该猜想对Fullerene图也还没有完全解决.本文证明了该猜想对含有非退化环6-边割的Fullerene图是成立的.