二次算子族与无穷维Hamilton算子的谱分析

论文摘要

1990年,钟万勰院士将弹性力学导入Hamilton体系,建立了弹性力学求解新体系,将弹性力学与无穷维Hamilton算子相结合,提出了基于Hamilton体系的分离变量法,解决了许多实际问题.而基于Hamilton体系的分离变量法的理论基础便是无穷维Hamilton算子的谱理论及特征函数系的完备性.因此本学位论文以无穷维Hamilton算子的谱理论为中心,主要进行了如下几个方面的研究工作：第一.引入了一类有深刻力学背景的二次算子族L（λ）=λ2M—iλK—A,讨论了该类算子族的谱分布；第二.将无穷维Hamilton算子与二次算子族联系起来得到了无穷维Hamilton算子的谱分布；第三.讨论了二次算子族L（λ）=λ2M—iAK—A的数值域,证明了该类二次算子族的数值域关于虚轴对称；第四.研究了一类无穷维Hamilton算子的谱,利用无穷维Hamilton算子是算子矩阵且有特殊的结构给出了无穷维Hamilton算子谱的一种描述；最后,讨论了无穷维Hamilton算子的本质谱,利用Fredholm算子的定义,给出了无穷维Hamilton算子Fredholm意义下的本质谱的描述.首先,我们讨论了一类在弦和梁的微小振动中出现的一类特殊的二次算子族L（λ）=λ2M—iλK—A的谱分布,给出了当M,K,A是非负算子时二次算子族L（λ）的谱位于上半开平面,上半闭平面的充分条件,同时给出了它位于下半平面上的谱都是纯虚谱的充分条件.其次,利用二次算子族的谱分布讨论了无穷维Hamilton算子的谱分布.我们知道无穷维Hamilton算子的一个重要研究方向就是无穷维Hamilton算子生成算子半群的问题,要解决无穷维Hamilton算子生成半群的的问题就得首先解决无穷维Hamilton算子的谱分布.本文我们给出了非负无穷维Hamilton算子的谱位于上半开平面,上半闭平面的充分条件,同时给出了它位于下半平面上的谱都是纯虚谱的充分条件.再次,我们知道算子的数值域是刻画算子谱的一种很有效的手段,因此我们讨论了二次算子族L（λ）=λ2M—iλK—A的数值域,证明了该类算子族的点谱是其数值域的一个子集,近似点谱是其数值域闭包的子集,同时我们证明了该类二次算子族的数值域是关于虚轴对称的.而其它类型的二次算子族却不具有这样的性质,本文也给出了例子加以说明.接着,我们利用无穷维Hamilton算子的特殊结构,给出了无穷维Hamilton算子谱的描述.由于无穷维Hamilton算子是算子矩阵,我们利用其分块算子的组合形式给出了无穷维Hamilton算子谱的一种描述.最后,我们讨论了无穷维Hamilton算子的本质谱,利用上半-Fredholm算子,下半-Fredholm算子及Fredholm算子的定义给出了无穷维Hamilton算子一类本质谱和三类本质谱的描述,利用其分块算子矩阵的特征,将其本质谱用其分块算子矩阵的组合形式来刻画.本文研究了二次算子族及无穷维Hamilton算子的谱问题,为进一步研究无穷维Hamilton算子的相关问题做了一些理论上的铺垫,为进一步研究无穷维Hamilton系统做了一些有益的工作.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 目录
• 第一章 绪论
• 1.1 Hamilton系统与无穷维Hamilton算子简介
• 1.2 非自伴算子谱分析
• 1.3 无穷维Hamilton算子的研究现状
• 1.4 算子数值域
• 1.5 次算子族的相关内容
• 1.6 本文的主要工作
• 第二章 二次算子族的谱分布
• 2.1 引言
• 2.2 预备知识
• 2.3 一类二次算子族的谱分布
• 2.4 算例
• 2.5 本章总结
• 第三章 非负无穷维Hamilton算子的谱分布
• 3.1 引言
• 3.2 预备知识
• 3.3 非负无穷维Hamilton算子的谱分布
• 3.4 算例
• 3.5 本章总结
• 第四章 二次算子族的数值域及特征值估计
• 4.1 引言
• 4.2 预备知识
• 4.3 次算子族的数值域
• 4.4 次算子族的特征值估计
• 4.5 算例
• 4.6 本章总结
• 第五章 一类无穷维Hamiltion算子的谱
• 5.1 引言
• 5.2 预备知识
• 5.3 一类无穷维Hamilton算子谱的刻画
• 5.4 算例
• 5.5 本章总结
• 第六章 无穷维Hamiltion算子的Fredholm性及本质谱
• 6.1 引言
• 6.2 预备知识
• 6.3 一类无穷维Hamilton算子的本质谱的描述
• 6.4 算例
• 6.5 本章总结
• 总结与展望
• 参考文献
• 主要符号表
• 致谢
• 攻读学位期间的研究成果