基于广义逆AT，S～（2）的广义Schur补理论与计算

论文摘要

矩阵广义逆的理论和计算以及Schur补的理论都是在20世纪20年代兴起的研究课题．发展至今，已经有许多丰富的研究成果．矩阵广义逆在微分和积分方程、算子理论、控制论、最优化、统计学、Markov链等许多研究领域中有着广泛的应用．而Schur补在矩阵理论、统计分析、数值计算、线性方程组求解、区域分解方法、线性控制等问题的研究中都有着广泛的应用．如今，它们都已经成为科学计算中的重要研究工具．在本文中，我们首先介绍Schur补和“伪Schur补”的研究历史及近期的一些研究成果，然后将常见的广义逆引进Schur补定义中，定义了基于不同的广义逆所定义的广义Schur补，并对这些广义Schur补进行研究．具体工作如下．第一部分即本文第二章，我们回顾了Schur补和“伪Schur补”的研究历史及其在研究分块矩阵的秩、证明行列式关系、商性质等三个方面一些近期的研究成果，并对Schur补在某些领域中的应用作了简要介绍．第二部分由三章组成．在第三章中，首先将由Moore-Penrose逆定义的“伪Schur补”的概念推广到由更为一般的广义逆所定义的广义Schur补，定义了基于广义逆AT，S2的广义Schur补以及其他几种常见的广义逆如Moore-Penrose逆，加权Moore-Penrose逆，Drazin逆，群逆所定义的广义Schur补．对这几种广义Schur补的性质、应用、计算作了一定的研究．在第四章中，研究了由分块幂等矩阵的所定义的广义Schur补的幂等性质，并且研究了这种由分块幂等矩阵定义的广义Schur补的和与差的幂等性，以及该分块幂等矩阵的零特征值和零特征值所对应的特征向量与这种广义Schur补的零特征值和零特征值所对应的特征向量之间的关系．获得了许多关于分块幂等矩阵定义的广义Schur补的新结论．在第五章中，介绍了四种特殊类型的矩阵积：Kronecker积、Tracy-Singh积、Khatri-Rao积、Hadamard积．并将这些特殊类型的矩阵积与广义逆结合，建立了Khatri-Rao积与分块矩阵的关系式，研究了．{1}逆和{2}逆的Tracy-Singh积，投影的Tracy-Singh积．并将这些特殊矩阵积与广义Schur补结合，获得了许多新结论．

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 主要符号对照表
• 第一章 前言
• 1.1 研究背景
• 1.2 论文结构
• 第二章 Schur补与伪Schur补
• 2.1 概述
• 2.2 Schur补与行列式
• 2.3 Schur补与秩
• 2.4 Schur补的商性质
• 2.5 Schur补的应用举例
• 2.5.1 Schur补在求解线性方程组方面的应用
• 2.5.2 Schur补在外推法中的应用
• 2.5.3 Schur补在统计中的应用
• 第三章 广义Schur补与广义逆
• 3.1 广义Schur补的定义
• 3.2 广义Schur补的一些理论与性质
• 3.2.1 广义Schur补的性质
• 3.2.2 广义Schur补的秩等式
• 3.2.3 广义Schur补的商性质
• 3.3 广义Schur补的应用
• 第四章 幂等矩阵与广义Schur补
• 4.1 广义Schur补的幂等性
• 4.2 广义Schur补的和与差的幂等性
• 4.3 零特征值与特征向量
• 第五章 矩阵积与广义逆
• 5.1 Kronecker积与广义逆
• 5.1.1 Kronecker积及其性质
• 5.1.2 广义逆的Kronecker积
• 5.2 Khatri-Rao积与广义逆
• 5.2.1 主要结论
• 5.2.2 数值例子
• 5.3 Tracy-Singh积与广义逆
• 5.3.1 Tracy-Singh积与{1}逆
• 5.3.2 Tracy-Singh积与{2}逆
• 5.3.3 关于投影的Tracy-Singh积
• 5.3.4 四种矩阵积之间的关系
• 附录
• 参考文献
• 在读博期间完成的论文
• 致谢