论文摘要
随着电子计算机的出现和迅速发展，在各门自然科学和工程技术科学的发展中，科学计算已经成为平行于理论分析和科学实验的第三种科学手段．数值计算是科学计算中的一个不可缺少的环节，而在数值计算中，一类很重要的问题就是线性方程组的求解．另外，数学和物理以及力学等学科和工程技术中许多问题的最终解决都归结为解一个或一些大型系数矩阵的线性方程组．所以，大型线性方程组的求解是大规模科学与计算的核心，许多作者都对此作了研究（见[1]-[11]）．对线性方程组Ax=b的求解，主要有直接求解法和迭代法求解．对于阶数不太高的线性方程组，用直接法比较方便，高斯消元法和克兰姆法则是直接解法里面最重要的解法．但是，随着科学技术的飞速发展，需要求解的问题的规模越来越大，迭代法已取代直接法成为求解大型线性组的最重要的一类方法．此时，迭代格式的收敛性和收敛速度成为一个很重要的问题，成为人们关注的焦点（见[12]-[17]）．不收敛的格式当然不能用，虽然收敛但是收敛的很慢的格式，不仅是人工和机器的时间比较浪费，而且还不一定能解出结果，实际应用价值太小．通常用的迭代法有Jacobi，Gauss-Seidel等古典迭代法，还有SOR，AOR以及SAOR，SSOR等迭代法．这些迭代法的提出对大型线性方程组的求解提供了一条快速有效的途径．但是这些迭代法相对来说使用条件很苛刻，或者很繁琐．此外当迭代矩阵的谱半径比较大，尤其接近1时，迭代速度将会很慢，极大的影响了方程组求解的时效性，从而使它们的应用受到了一定的限制．故本文在前人的基础上，通过大量的查阅文献和思考，寻找一类线性方程组的快速解法．在本文中约定A=D-C，J=D-1C，A=(αij)∈Rn×n为对角线不为零的非奇异矩阵，x，6∈Rn分别为待求的和已知的列向量．正文内容部分从第一章到第四章，详细内容说明如下：第一章，概述了线性方程组求解主要方法，同时介绍了近年来一些迭代法的发展概况．第二章，主要讨论当线性方程组的系数矩阵为非奇异M阵时，利用交替方向法，使得它的迭代矩阵的谱半径可以任意小；同时利用矩阵级数理论简化了常数向量，找出了一条快速有效的解决系数矩阵为非奇异M阵的迭代方法．第三章，主要讨论了当线性方程组为一般的非奇异线性方程组时，如果它满足所给的条件，把系数矩阵的逆通过级数的形式表示，从而找到了一条快速解决一类线性方程组的直接接法，即它的解可以表示为x=A-1b=D-1b，或者x=A-1b=1／3b，从而大大提高了计算速度．第四章，应用举例．本章主要是为了应用第二章和第三章的结果解决一些问题，同时和其他的解法作比较，说明本文的定理在应用上具有广泛性．