不适定方程的求解方法

论文摘要

在现实生活中，不适定问题的来源相当广泛，包括病态线性方程、物性探测、扫描成像、逆时反演等多个领域．此类问题的求解通常涉及到三个问题：（1）可解性，即解的存在性．（2）解的唯一性．（3）解的稳定性．求解不适定方程有多种方法，通常采用Tikhonov正则化方法，Tikhonov正则化迭代方法，Landwcber迭代方法以及动力系统方法．首先，本文用两步线性定常迭代方程其中x0，α，β=0，x-1，α，β=0，（m=0．1．2，…）．及扰动方程其中x0，α，β，δ=0，x-1，α，β，δ=0，（m=0．1，2，…）．来讨论不适定问题正则性解，误差估计及停止法则，主要结论如下：定理1由方程（0．0．1）得到的滤波函数q（m，μ）是正则滤波函数，即定义算子Rm：是正则化策略，并且，||Rm||≤（?）其中0<（?）<1．0<（?）<（?）a,b是方程x2-（1+β-αμ2）x+β=0的两个不相等的根．我们可以求得a=（?）b=定理2 （先验估计）K：X→Y是线性紧算子．（1）：0<β<1.0<α<（?）由（0．0．4）定义的算子：Rm：Y→X是正则化策略．并且||Rm||≤（?），xm.δ=Rmyδ是有扰动方程（0．0．2）迭代产生，每一个m（δ）→∞，（δ→0）且δ2m（f5）→0，（δ→0）是容许的．（2）：如果x=（K*K）σz∈（K*K）σ（X），||z||≤E，存在c>0，0<c1（σ）<c2（σ）：使选取的每一个m（δ）满足c1（σ）（E/δ）?（δ）≤c2（σ）（E/δ）?．则有下面估计c依赖于c1（σ），c2（σ）．定理3 K：X→Y是线性紧的一对一的算子．令r>c并且yδ∈Y有||y-yδ||≤δ，||yδ||≥τδ，δ∈（0．δ0），c=1+2e-1序列xm，δ=Rmyδ是由迭代方程（0．0．2）产生，其中m=0，1，2，…，0<β<1，0<α<（?）．有以下结论：（1）limm→∞||Kxm．δ-yδ||=0，即存在最小的整数m=m（δ）∈N0．有||Kxm．δ-yδ||≤τδ．（2）δ2m（δ）→0．即所选取的m（β）是容许的，因此xm（δ），δ收敛到真解．（3）如果x=K*z∈K*（Y）或者x=K*Kz∈K*K（X）．||z||≤E有其中C>0这意味着m（δ）此迭代是最优的．定理4 （后验估计），满足定理3的全部条件，当x=（K*K）σz，||z||≤E有下面误差估计式其中C>0．即根据此停止准则所选取的m（δ）使收敛阶达最优．其次，用动力系统方法其扰动方程这里u：=(（du（t）/（dt）），uδ：=(（duδ（t）/（dt）），||f-fδ||≤δ，α>0，u0是任意数，讨论不适定方程的解的收敛性，误差估计及停止法则，主要结论如下：定理5方程（0．0．5）有唯一的全局解u（t）．并且u（∞）=limt→∞u（t）=y．方程（0．0．6）有唯一的全局解uδ（t）并且存在tδ使得tδ可以被选择，例如可取定理6 （先验估计）假设增加解得光滑性条件如果t通过先验参数选择t=α-1(8E2δ-2K2（v）v2)?，k（v）：max{vv，1}．则有误差估计其中c（v）=(（8v2）(-（v/（2v+1））+（8v2）1/（2（2v-1））2-（1/2）k（v）1/（2v+1）．即在先验条件下误差达到最优阶．定理7 uδ（t）是方程（0．0．6）的解，y是方程（0．0．7）的唯一最小范数解．||Au0-fδ||>τδ>0．τ≥2．则存在唯一的解T<∞使得h（T）=0．定理8 uδ（t）是方程（0．0．6）的解，y是方程（0．0．7）的唯一最小范数解．||Au0-fδ||>τδ>0．τ≥2．满足y-u0=-（A*A）vz，||z||≤E，v>0．这里t=T足满足定理7中h（T）=0的解．则（1）uδ（T）→y．δ→0．（2）||uδ（T）-y||≤D（v）E1/（2v+1）δ（2v）/（2v+1），D（v）=（?）（（?））1/（2v+1）+（τ+2）v/2v+1．即在后验条件下误差达到最优阶．最后，给出数值例子进行比较．

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 第一章 前言
• 第二章 求解不适定方程的两步线性定常迭代方法
• §2.1 滤波函数
• §2.2 正则滤波函数
• §2.3 收敛阶及停止法则
• 第三章 动力系统方法解不适定问题
• §3.1 解的收敛性和先验估计
• §3.2 停止法则
• §3.3 后验估计
• §3.4 几种离散正则化迭代格式
• 第四章 数值计算中线性两步定常迭代的快速迭代法
• 第五章 数值例子
• §5.1 线性两步定常迭代与Landweber迭代比较
• §5.2 线性两步定常迭代的快速迭代法的数值例子
• 参考文献
• 致谢
• 攻读学位期间发表与被接受的论文
• 学位论文评阅及答辩情况表