脉冲动力系统理论在种群生态学中的应用

论文摘要

脉冲微分动力系统对于在瞬时干扰下状态发生突变的演变过程提供了有力的自然描述。在数学处理上，脉冲的出现使得系统具有混合性，既有连续的特点，又有离散的特性，因而脉冲微分方程的理论也比相应的连续的微分方程理论丰富得多。本文的第一章给出了相关的脉冲微分方程的基本理论；第二、第三和第四章结合离散动力系统、连续动力系统和脉冲动力系统的相关理论，并运用非线性分析和数值模拟的方法，系统地研究了脉冲效应对开发的流行病SI模型、单种群、两种群和N-种群Gompertz系统的周期解的存在性、唯一性和稳定性等的影响，并提出了单种群最优脉冲收获策略，为可更新资源的开发和可持续发展提供了理论依据。本文首次系统地研究了Gompertz系统的几个方面，为今后进一步深入研究Gompertz系统奠定了一定的基本理论基础。 第二章研究的是单种群Gompertz系统的脉冲扩散问题。首先考虑的是动物种群在两个斑块间的脉冲扩散，与连续系统的扩散不同的是该种群的扩散仅在某个固定时刻扩散而非连续的扩散。通过差分方程把脉冲动力系统转化为离散动力系统，然后利用单调算子理论证明该离散动力系统存在全局渐近稳定的正不动点，因此原脉冲扩散的单种群Gompertz系统存在一个全局渐近稳定的正周期解。其次，具体研究了植物种子在两个斑块间飘移的脉冲动力系统，证明了该系统存在全局渐近稳定的正周期解，进一步通过数值模拟对定理加以验证说明种群能在两个斑块上共存。最后，讨论了单种群Gompertz系统的最优脉冲收获策略，为保护物种的多样性及自然资源的的开发和可持续发展提供了理论依据。 第三章基于流行病学控制害虫的管理策略建立了固定时刻的具有脉冲效应的种群动力学模型并研究了该模型的动力学性质。同时利用脉冲微分方程的Floquet乘子理论、比较定理和分析的方法，证明了害虫根除的周期解的全局渐近稳定性，给出了系统持续生存的条件，然后再利用分支理论证明了正周期解的存在性，并通过数值模拟讨论了当正周期解的稳定性失去时，系统可能出现的复杂现象。 第四章提出了在供求关系作用下自治和非自治单种群Gompertz收获模型。应用Dulac函数我们证明了自治系统的正平衡态的全局稳定性。对于周期非自治系统则采用度理论和连续性定理，证明了周期系统的正周期解的存在性。然后应用Lyapunov函数，得到周期解唯一性和稳定性的充分条件。其次，提出非自治周期的两种群Gompertz竞争系统，利用单调凹算子理论及Brouwer定理证明该竞争系统存在唯一的正周期解。再利用Krasnoselskii定理说明这个唯一的正周期解的一致渐近稳定性。最后，提出非自治周期的N种群Gompertz竞争系统，并利用Brouwer定理证明该竞争系统存在正周期解，然后构造Lyapunov函数证明周期解的唯一性和全局渐近稳定性，且通过数值模拟给出实例检验上述结论。

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• 第一章 引言及预备知识
• §1.1 脉冲微分系统的描述
• §1.2 解的存在性、唯一性、延拓性及稳定性
• §1.3 脉冲微分方程的比较定理和解的紧性判别
• §1.4 拓扑度理论与单调凹算子
• §1.5 分支定理
• 第二章 单种群Gompertz脉冲动力系统
• §2.1 脉冲扩散的单种群Gompertz模型
• §2.2 种子传播的数学模型及定性分析
• §2.3 周期Gompertz生态系统的全局性态
• §2.4 周期Gompertz生态系统的最优控制收获策略
• 第三章 利用流行病学原理控制害虫的脉冲动力系统
• §3.1 引言
• §3.2 模型建立
• §3.3 具脉冲效应的害虫控制S1系统
• §3.4 脉冲系统与连续系统的比较
• 第四章 Gompertz系统的周期解和稳定性
• §4.1 供求关系作用下的单种群Gompertz系统
• §4.2 两种群Gompertz竞争系统
• §4.3 N种群Gompertz竞争系统
• 论文创新点摘要
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表学术论文情况
• 致谢
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