De Morgan代数及相关代数结构的研究

论文摘要

许多源于逻辑的代数系统的基本结构是De Morgan代数,如Lukasiewicz代数、Nelson代数,以及模糊逻辑代数BL、R0、MTL代数等等.随着一些非经典逻辑（Post逻辑、Lukasiewicz逻辑、带强非的构造逻辑以及各种模糊逻辑系统等）的发展, De Morgan代数理论日益显示出它的重要性.因此,从De Morgan代数的基本结构出发,研究De Morgan代数及相关的代数结构以及他们之间的内在联系,不仅对De Morgan代数结构本身的研究是重要的,而且对于揭示各种逻辑系统之间的内在关系有重要意义.本文在国内外已有成果的基础上,深入研究De Morgan代数及相关代数结构,主要包括强De Morgan代数、正则剩余格和DR0代数等.本文的基本思路是从广义R0 t-摸和广义R0蕴涵算子的角度来研究De Morgan代数的扩张问题.本文的主要结果有:（1）通过推理证明及编程检验,得到了全部低阶De Morgan代数（阶≤8）.引入强De Morgan代数的概念,讨论了它的基本性质,并借助数学软件得到了全部低阶强De Morgan代数（阶≤8）.（2）在De Morgan代数上引入广义R0算子,举例说明了一般De Morgan代数上的广义R0算子不能构成t-模,进而研究了强De Morgan代数上的广义R0算子.（3）讨论了De Morgan代数与剩余格的关系,将著名的R0蕴涵拓广到De Morgan代数上,称为广义R0蕴涵,证明了添加广义R0蕴涵和相应?算子后的De Morgan代数L成为剩余格的充要条件是L为强De Morgan代数.进而引入DR0代数的概念,得到了DR0代数的基本性质,并刻画了它与R0代数、正则剩余格的关系.同时,还在DR0代数中引入MP滤子、布尔滤子、关联滤子、超滤、固执滤子等概念,讨论了它们之间的关系.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 引言
• 1 预备知识
• 1.1 偏序集、格
• 1.2 格上的三角模
• 1.3 De Morgan 代数
• 1.4 相关代数的基本知识
• 2 低阶 De Morgan 代数
• 2.1 有界分配格
• 2.2 低阶 De Morgan 代数
• 3 强 De Morgan 代数及其上的广义 R0 t-摸
• 3.1 强 De Morgan 代数的定义及性质
• 3.2 低阶强 De Morgan 代数
• 3.3 强 De Morgan 代数上的广义 R0 t-模
• 0代数'>4 DR₀代数
• 4.1 正则剩余格与 De Morgan 代数的关系
• 4.2 由 De Morgan 代数导出的正则剩余格
• 0代数的基本性质'>4.3 DR₀代数的基本性质
• 0代数与R0代数的关系'>4.4 DR₀代数与R0代数的关系
• 0代数的MP 滤子'>4.5 DR₀代数的MP 滤子
• 0代数的布尔MP 滤子'>4.6 DR₀代数的布尔MP 滤子
• 0代数的关联滤子'>4.7 DR₀代数的关联滤子
• 5 总结
• 参考文献
• 在学研究成果
• 致谢