论文摘要
中国有句谚语：“人往高处走,水往低处流”,它揭示了事物运动具有某些共同的趋势.在自然界中,很多生物运动和化学变化也都具有同一规律.例如,从小到分子,离子,细胞,细菌运动,大到动植物生长,疾病感染,肿瘤扩散等,在微观上,它们表现为分子作无规则布朗运动,宏观上表现为物质从浓度高的地方向浓度低的地方运动,我们把这一现象称为扩散.当然,生物运动和化学变化过程中伴随着生老病死,弱肉强食,聚合分解等,我们称之为反应.为了揭示生化反应扩散过程,人们提出了大量的数学模型.应用微分方程研究生化动力系统的思想可以追溯到20世纪10-20年代Lotka-Volterra的论著或者更早,20世纪30年代Fisher将扩散引入到种群遗传动力系统中,20世纪50年代初Skellam, Turing等人又将扩散引入到种群动力系统和化学反应系统之中,20世纪60年代,Belusov等人开始深入研究化学反应中的振荡现象,20世纪70年代以后,反应扩散系统越来越受到了人们广泛地关注.本文基于两类生化数学模型的研究现状,主要运用非线性分析和非线性偏微分方程工具,特别是反应扩散方程（组）和对应椭圆方程（组）的理论和方法,深入系统地研究了自催化反应扩散模型和具有非单调转换率的Lotka-Volterra模型的动力学行为,包括正平衡态解的存在性、多解性、稳定性以及长时行为.所涉及的数学理论包括：上下解方法、比较原理、单调动力系统理论、全局分歧理论、拓扑不动点理论、Lyapunov函数等.本文的主要内容包括以下几个方面：第一章建立了一般形式的自催化反应扩散数学模型,详尽列举了基元化学反应模型和Lotka-Volterra模型的研究现状,介绍了以后章节所需的最大值原理、拓扑不动点理论,分歧理论等等.第二章讨论了一类多级自催化模型,利用锥映射上的不动点指标理论给出系统存在正稳定态的条件.在齐次Dirichlet边界条件下,把转化率c作为参数,证明了当c适当小时系统没有正平衡态,当c适当大时系统至少有两个正平衡态,当c充分大系统至少有一个正平衡态.我们还决定了分歧方向以及全局分歧的性质等.第三章考察了一类二级基元化学反应模型,在齐次Dirichlet或Robin边界条件下,利用锥映射上的不动点指标理论给出系统存在稳定态的条件,利用局部分歧讨论了分歧点附近解的性质,利用线性化理论讨论了分歧解的稳定性.利用全局分歧理论讨论解与分歧参数的依赖关系,计算了分歧的方向,讨论了参数在无穷远附近解的极限行为以及唯一性,证明了系统在一维空间非常数稳态解是唯一的.在齐次Neumann边界条件下,利用构造Lyapunov函数方法证明了系统常数平衡态解的全局稳定性条件.本章的难点在于对共存解的唯一性证明.第四章研究了一类三级基元化学反应模型—Schnakenberg模型,在一维空间和齐次Neumann边界下,利用Hopf分歧理论给出系统存在周期解的条件,利用局部分歧讨论了系统存在’Turing分歧,利用数值模拟验证了理论结果,也进一步说明了系统是一个富动力系统.本章的突出工作在于给出了计算了分歧方向一般方法.第五章分析了一类带有阶段结构的捕食-食饵模型,利用线性稳定性的方法分析了半平凡解,正常数解的稳定性以及长时行为,利用构造Lyapunov函数方法给出系统常数平衡态解的全局稳定性条件.利用全局稳定和能量模方法给出了不存在正稳定态的条件,在先验估计的基础之上,仔细研究了系统在正常数平衡态解附近的线性化算子的性质,利用锥映射上的不动点指标理论给出系统存在正稳定态的条件.本章难点在于正解的有界估计以及拓扑度理论的应用.第六章分析了一类两物种竞争一种资源的竞争-竞争-捕食模型,作为一个例子,我们仔细讨论了功能函数为HollingⅡ的情形.利用线性稳定性的方法分析了半平凡解,正常数解的稳定性以及长时行为,利用构造Lyapunov函数方法给出系统常数平衡态解的全局稳定性条件.利用全局稳定,能量模方法以及隐函数的方法给出了不存在正稳定态的条件,通过巧妙构造同伦函数,利用锥映射上的不动点指标理论给出系统存在正稳定态的条件.本章难点在于隐函数定理的应用以及同伦函数的构造.