高维非线性动力系统的降维方法与分岔研究

论文摘要

本文研究了基于切比雪夫正交多项式理论和非线性Galerkin法的高维非线性动力学系统降维技术及非线性油膜力、密封力作用下转子-轴承系统的非线性动力学问题。复杂动力系统往往呈现出高维、非线性、强耦合的特点,这类系统的动力学特性即使采用数值方法研究也存在着很多困难。非线性非自治系统的动力学行为模式往往由低维流形上的动力学所控制,因而降维简化就成为从理论上揭示其动力学现象的必要步骤和前提。本文利用平移后的切比雪夫正交多项式理论求得一个线性项随时间周期变化的非线性非自治系统的Liapunov-Floquet变换矩阵,将其变换为线性项时不变的系统,再利用非线性Galerkin法对此系统进行降维。通过对降维前后系统的时间历程图和相轨迹图的对比,说明降维成功。针对单圆盘Jeffcott转子-轴承系统,建立其在非线性油膜力和密封力作用下的动力学方程,其中油膜力采用了Capone在1991年提出的短轴承假设下的非线性油膜力模型,该模型具有较好的精度和收敛性,密封力采用了Muszynska非线性模型。本文利用龙格-库塔法求解上述非线性转子-轴承动力学系统,得到了系统的周期响应和非线性动力学特性,利用最大值法绘制了系统随转子转速和圆盘质量偏心变化的分岔图。在所研究的转速变化范围内,通过绘制Poincare截面图、轨迹图、相图等,发现随着转子转速和圆盘质量偏心的变化,系统发生周期运动、倍周期运动以及准周期运动,进而进入混沌状态,而后又变为二周期运动,最后以周期运动结束。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 课题来源及研究的目的和意义
• 1.1.1 课题来源
• 1.1.2 课题背景及研究的目的和意义
• 1.2 国内外研究现状
• 1.2.1 降维方法的发展
• 1.2.2 非线性动力学的国内外现状
• 1.2.3 转子系统非线性动力学的国内外现状
• 1.3 本文主要研究内容
• 第2章 非线性动力学的研究方法
• 2.1 引言
• 2.2 非线性振动问题的研究方法
• 2.2.1 原始摄动法
• 2.2.2 平均法
• 2.2.3 多尺度法
• 2.2.4 谐波平衡法
• 2.2.5 改进的L-P法
• 2.2.6 椭圆函数平均法
• 2.3 分岔与混沌的基本概念
• 2.3.1 分岔的基本概念
• 2.3.2 混沌的基本概念
• 2.4 高维非线性系统的降维方法
• 2.4.1 复内积正规形平均法
• 2.4.2 中心流形技术
• 2.4.3 参数激励的非线性系统的降维技术
• 2.4.4 主相互作用模式降维方法
• 2.4.5 非线性Galerkin法
• 2.5 本章小结
• 第3章 基于切比雪夫正交多项式和非线性Galerkin法的降维技术
• 3.1 切比雪夫正交多项式理论
• 3.1.1 [0,1] 区间上的切比雪夫正交多项式
• 1,t₂ ] 任意区间上的切比雪夫正交多项式'>3.1.2 [t₁,t₂ ] 任意区间上的切比雪夫正交多项式
• 3.2 Liapunov-Floquet矩阵
• 3.3 数值算例
• 3.4 本章小结
• 第4章 非线性转子-轴承系统的分岔与混沌研究
• 4.1 分岔与混沌的研究方法
• 4.1.1 分岔的基本类型
• 4.1.2 周期解的分岔
• 4.1.3 分析混沌的数值方法
• 4.2 转子-轴承系统动力学模型
• 4.2.1 非线性动力学方程的建立
• 4.2.2 非线性油膜力
• 4.2.3 非线性密封力
• 4.2.4 无量纲的动力学方程
• 4.3 转子-轴承系统的分岔与混沌分析
• 4.3.1 转子转速的影响
• 4.3.2 圆盘质量偏心的影响
• 4.4 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 附录
• 致谢