扩张混合有限元的几种两层网格法及理论分析

论文摘要

作为通过多孔介质地下水流问题的数学模型的反应扩散方程一直以来都是众多科学家感兴趣的研究内容。用扩张混合有限元方法对其进行离散是常用的方法,其离散化所获得的代数方程组是一很大的非线性方程组。因此,研究非线性方程组的具有高效率高精度的算法是很有必要的。在本文中我们提供了几种解决两维反应扩散方程的扩张混合有限元的两层网格方法。它们的主要特征是在粗网格上解所有的非线性方程组,然后通过在细网格上解以牛顿迭代为基础的线性方程组（或在粗网格上解线性方程组作为校正）,但此离散方法不会影响扩张混合有限元方法解的精度。首先,我们利用投影算子的逼近性质,获得了一些超收敛性估计及扩张混合有限元方法的误差估计。对于半线性的反应扩散问题,我们提出了两次细网格牛顿线性迭代的思想,建立了两种扩张混合有限元的两层网格方法,通过对其进行收敛性分析,我们可知道当所选取的粗空间的步长H只要分别满足H=O(h1/4)或H=O(h1/6)时,所建立两层网格方法就可保持混合有限元方法解的渐进最优逼近。同时对于非线性的反应扩散问题我们也建立了一个新的两层网格方法,通过进一步的粗网格校正,只要所选取的两个空间的步长满足h=O(H（3k+1）/（k+1）)时,我们所建立的扩张混合有限元的两层网格方法能够保持混合有限元方法的解的渐进最优逼近。 在文章的末尾,作者对本文的工作进行了总结,并对将来的工作提出了展望。

论文目录

• 引言
• 第一章 预备知识
• 第一节 模型问题
• 第二节 定义及逼近性质
• 第二章 扩张混合有限元方法及其误差分析
• 第一节 扩张混合元离散格式的建立
• 第二节 椭圆投影及其超收敛性质
• 第三节 误差分析
• 第三章 几种两层网格法及其收敛性分析
• 第一节 半线性反应扩散问题的扩张混合有限元的两层网格法
• 第二节 非线性反应扩散问题的扩张混合有限元的两层网格法
• 第四章 结论和展望
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间已公开发表的论文
• 致谢