Hamilton系统等能曲面之同调群的秩估计

论文摘要

文献[1]是估计非线性力学系统的等能曲面的大范围周期轨道的类型数有多少种,利用基本群、Hurewicz定理,借助于等能曲面的拓扑性质把这种估计转换成估计等能曲面的1维奇异同调群的秩的上界。为了进一步了解等能曲面的拓扑结构,本文利用[1]中的方法,即利用正合同调序列及Morse不等式的方法推广了[1]的结论,即估计了等能曲面q维奇异同调群的秩的上界,q为整数,且从0到2 n? 1(2 n? 1为等能曲面的维数)。首先,对等能曲面的1维奇异同调群的秩进行了重新估计,目的是提高估算精度和提高计算的可行性,得出了估计不等式。其次,对等能曲面的0维及2维奇异同调群的秩也进行了估计,分别得出了估计不等式。依据0维、1维、2维的估计不等式,归纳q维奇异同调群的秩的上界估计不等式。最后,证明此归纳的不等式成立,并将其运用到刚体运动的力学例子中与前人研究结果对照,验证其正确性。本文的创新之处即给出了估计等能曲面的q维奇异同调群的秩的上界的不等式关系。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 拓扑学的概述
• 1.1.1 微分拓扑的概述
• 1.1.2 代数拓扑的概述
• 1.1.3 Morse理论的概述
• 1.2 Hamilton 动力系统的拓扑理论的概述
• 1.3 本文课题来源及本文所作的工作
• 1.4 本文的编排
• 第二章 基本群与同调群理论
• 2.1 群论相关知识
• 2.2 基本群
• 2.2.1 映射同伦
• 2.2.2 基本群
• 2.3 单纯同调群及奇异同调群
• 2.3.1 单纯同调群
• 2.3.2 奇异同调群
• 1（ X ） 与π₁（X ） 的关系'>2.3.3 H₁（ X ） 与π₁（X ） 的关系
• 2.4 正合同调序列及切除定理
• 第三章 微分流形及HAMILTON动力系统
• 3.1 微分流形基本理论
• 3.1.1 切丛与余切丛
• 3.1.2 向量丛与纤维
• 3.1.3 联络与测地线
• 3.2 黎曼流形的基本定理
• 3.3 辛流形、HAMILTON系统及HAMILTON系统的等能曲面
• 第四章 MORSE不等式
• 4.1 MORSE函数
• 4.2 用临界值描述流形的伦型
• 4.3 MORSE不等式
• 第五章 等能曲面的 q 维奇异同调群的秩估计
• 5.1 一维奇异同调群的秩估计
• 5.2 Q维奇异同调群的秩估计
• 5.3 秩估计定理在刚体力学中的应用
• 结论
• 参考文献
• 致谢
• 在学期间发表的学术论文