有限点方法与数值激波不稳定研究

论文摘要

本文主要研究了有限点方法和数值激波不稳定现象。主要结果有:1.对二维光滑函数,推导与给出了在任一点上二阶方向微商的极值公式,即一阶微商的梯度公式。设给定三个互不平行方向上的二阶方向微商,或者给定两个不平行方向上的二阶微商及其混合微商,本文分别给出了二阶方向微商达到极大值和极小值的方向,以及相应的极大值公式与极小值公式。极大值方向与极小值方向是垂直的。2.利用二阶方向微商关系式,推导与给出了第二类一阶方向微商的四点近似公式;讨论了三点公式四点公式在不同意义下的差异;给出了从两点公式到五点公式的截断误差不断递减的结论。3.在二维非规则区域的散乱离散点集上,应用有限点公式,对多个算例,成功地和有效地数值求解了椭圆型方程的第一边值问题。数值结果表明,有限点方法具有较好的计算精度与收敛速度。一般说来,一阶微商具有接近二阶的精度,二阶微商具有接近一阶的精度。4.对双曲守恒律方程的有限点方法,开展了选点方法,人工粘性方法与格式构造研究,获得了初步成果与较深刻的认识:对间断较弱的二维问题,获得了较满意的二维图像;对一般的二维问题,需根据流场的方向性以及间断的形态,恰当地选择邻点与粘性。5.对二维流体力学有限体积方法应用中出现的激波不稳定现象,给出了混合格式的设计方法,取得了良好的消除激波不稳定性的效果。主要做法为:对连续性方程以及动量方程之一,采用已有的消除激波不稳定性通量,如混合HLL通量等;而对能量方程及另一动量方程仍采用原有通量。我们利用混合方法,有效地消除了Roe格式,HLLC格式和AUSMD格式等的数值激波不稳定现象。该方法计算效率高,激波分辨率好。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 目录
• 第一章 前言
• 1.1 背景
• 1.2 有限点方法
• 1.3 数值激波不稳定现象研究
• 1.4 本文的工作
• 1.5 本文结构
• 第二章 预备知识
• 2.1 记号与性质
• 2.2 定义与引理
• 2.3 方向微商关系式
• 2.4 数值方向微商的五点公式
• 2.4.1 一阶微商五点公式
• 2.4.2 二阶微商五点公式
• 2.5 选点算法
• 2.5.1 退化的邻点分布
• 2.5.2 稳态分布邻点集
• 2.6 典型微分算子的数值公式
• 2.6.1 散度算子
• 2.6.2 梯度算子
• 2.6.3 Laplace算子
• 第三章 一阶微商的梯度——二阶微商的极值
• 3.1 二阶方向微商极值公式（一）
• 3.1.1 二阶方向微商的表示
• 3.1.2 二阶方向微商极值公式（一）
• 3.2 二阶方向做商极值公式（二）
• 3.2.1 二阶方向微商的表示
• 3.2.2 极值公式
• 3.2.3 特例-直角坐标情况
• 3.3 小结
• 第四章 少点公式分析
• 4.1 引言
• 4.2 不同平均意义差异的分析
• 4.2.1 三点公式
• 4.2.2 第一类四点公式
• 4.3 第二类四点公式
• 4.4 五点公式的又一推导
• 4.5 少点公式截断误差的比较
• 4.6 小结
• 第五章 椭圆型方程有限点方法
• 5.1 具有变系数的椭圆算子表示式
• 5.1.1 具有变系数κ的二阶方向微商关系式
• 5.1.2 椭圆算子方向微商表示式
• 5.2 离散格式
• 5.3 选邻点方法
• 5.4 数值算例
• 5.5 小结
• 第六章 有限点方法在双曲守恒律方程中的应用
• 6.1 引言
• 6.2 有限点算法框架
• 6.3 邻点的选择
• 6.4 人工粘性项
• 6.4.1 人工粘性方法1
• 6.4.2 人工粘性方法2——梯度方向人工粘性方法
• 6.5 黎曼解粘性
• 6.6 人工粘性项方法的应用
• 6.6.1 应用于无粘Burgers方程
• 6.6.2 应用于Euler方程
• 6.7 黎曼解通量粘性方法应用
• 6.8 小结与展望
• 第七章 数值激波不稳定现象研究
• 7.1 研究背景
• 7.2 旋转通量方法
• 7.3 混合方法
• 7.4 小结
• 第八章 总结
• 8.1 本文研究工作的主要背景
• 8.2 本文的主要结果
• 8.3 后续研究工作
• 参考文献
• 致谢