论文摘要
与正向随机微分方程（SDEs）长达半个多世纪的研究历史相比,倒向随机微分方程（BSDEs）是一个比较新的研究方向,但进展却非常迅速.除了其理论本身所具有的有趣的数学性质外,还因为BSDEs在越来越多的领域展现了其广阔的应用前景.1973年Bismut [16]研究的线性BSDEs可以看作是著名的Girsanov定理的推广.而非线性BSDEs的基本框架则是由Pardoux和Peng [95]在1990年引入的Peng在[98]中首先得到了倒向随机微分方程和偏微分方程（PDEs）的关系,并且在[97]中研究了基于BSDEs的最优控制问题的随机最大值原理.从那以后,很多关于BSDEs的理论与应用结果得到了发展,其中包括：正倒向随机微分方程（FBSDEs）、反射倒向随机微分方程、受限倒向随机微分方程、倒向重随机微分方程、随机控制、数理金融、非线性期望与非线性鞅论、递归效用、偏微分方程以及微分几何等.随着理论研究与应用的不断深入,BSDEs和FBSDEs数值计算方法的研究引起了越来越多的关注与重视.利用FBSDEs和PDEs的关系,Ma和Yong[87]提出了四步法.基于四步法的思想,在[37]中,作者提出了求解FBSDEs的数值格式,对其中的正向SDE采用Euler格式,对偏微分方程使用特征有限差分方法.[89,92,93,128]也基于同样的想法提出了一些数值格式来求解FBSDEs. Bally在文[6]中引入了一种时间随机离散格式并使用了Poisson过程的跳时间来离散BSDEs之后Bally和Pages[7]在美式期权定价问题中提出了量子化方法,该方法可以用于求解生成元不含z的反射BSDEs. Zhang在[125,126]中研究了BSDEs解的性质,提出并分析了Euler格式的半阶收敛性.Gobet和Labart[51]推广了Zhang[126]的结果,给出了求解FBSDEs的Euler格式误差展开,证明了Euler格式的半阶收敛精度.[52]提出了一种基于回归Monte Carlo方法的数值格式,可以用于解决高维问题.在[18],Bouchard和Touzi提出了一个倒向离散格式,通过一个可以由核估计或者Malliavin分析推出的回归算子来计算各个时间层上的条件数学期望Bender和Denk[12]提出了一个求解BSDEs的正向格式,避免了条件期望在各个时间层上的嵌套Delarue和Menozzi在[34]中提出了一个求解拟线性PDEs的正倒向随机算法并证明了其半阶收敛精度,然后在[35]中通过一个插值程序改善了这个算法Cvitanic和Zhang[32]把FBSDEs转化为控制问题并提出了求解此问题的最速下降法.2006年,Zhao, Chen和Peng[129]提出求解一般形式的BSDEs的θ-格式,通过蒙特卡罗模拟和空间插值方法来近似各个时间层上的条件数学期望.2009年,Zhao, Wang和Peng[131]考虑了生成元ff不含z的BSDEs的θ-格式,并给出了θ-格式在L1-范数下的一阶、二阶收敛精度.2010年,Wang, Luo和Zhao[119]对生成元不含z的BSDEs利用其变分方程提出了求解z的二阶收敛精度Crank-Nicolson格式.本论文由三部分内容组成.主要部分研究了正倒向随机微分方程的数值求解方法及其在金融与双曲型偏微分方程柯西问题中的应用.第二部分研究了由受限倒向随机微分方程的g9r-解诱导的风险度量,并通过风险度量的下卷积来研究最优风险转移问题.第三部分研究了赌博中倍注、斐波那契下注和风险百分比控制下注策略的破产概率问题,模拟和比较三种策略在量化交易中的资金曲线在最大资金回撤和最大资金回撤比值方面的表现.本文共分为七章,以下是本文的结构和主要结论.第一章：本章首先简要介绍了随机微分方程、倒向随机微分方程和正倒向随机微分方程的基础理论及相关应用,然后回顾了正倒向随机微分方程与双曲型偏微分方程数值求解方法的发展概况、Feynman-Kac公式、同伦分析方法和消逝粘性法等在求解非线性方程与双曲型偏微分方程的问题中发挥着重要作用的工具与方法.第二章：本章中,我们考虑生成元不含z的BSDEs其中Wr=（Wr1,...,Wrd）T为d维标准布朗运动,Wst,x=x+Ws-Wt（t≤s≤T）.在2.1节,我们首先回顾了[129]中提出的半离散θ-格式2.1,然后在引理2.1中利用It6公式简单地证明了[131]中给出的对如下定义的截断误差项Ryn和Rzn的估计格式2.1假设（yn,zn）（n=N-1,N-2,...,0）为BSDEs（1）的适应解（ys,zs）tn≤s≤T在s=tn时刻的近似.给定终端条件yN=yT.对n=N-1,N-2,...,1,0,通过以下的方程求解（yn,zn）其中θ1,θ2∈[0,1],θ3∈(0,1].引理2.1（1）.若则对θ1,θ2∈[0,1],θ3∈(0,1],下面的估计成立（2）.若则对θi=1/2（i=1,2,3）,下面的估计成立这里C是一个依赖于T和f,φ,u导数上界的正常数,其中u为PDE（2.3）的经典解.在2.2节,基于[119,129]我们提出下面的变分θ-格式来求解BSDEs（1）.格式2.3假设（yk,n,zk,j,n）（n=N-1,N-2,...,0,1≤k≤m,1≤j≤d）为BSDEs（1）的适应解（ysk,zsk,j）tn≤s≤T在s=tn时刻的近似.对1≤k≤m和1≤j≤d,给定终端条件yk,N=yTk和zk,j,N=zTk,j.对n=N-1,N-2,...,1,0,通过以下的方程求解（yk,n,zk,j,n）其中θ1,θ2∈[0,1],yn=（y1,n,...,ym,n）T,zn=（zk,j,n）m×d.对上面的半离散变分θ-格式2.3,我们给出下面的误差估计.定理2.3令（yt,zt）是BSDEs（1）的解,（yn,zn）（n=N,N-1,...,0）是变分θ-格式2.3的解.（1）.对1≤k≤m,若那么对足够小的时间步长Δt和任意的θ1∈[0,1],我们有（2）.对那么对足够小的时间步长△t和θ1=1/2,我们有这里C是一个依赖于c0,m,d,T和f,φ,u导数上界的正常数,其中u为PDE（2.3）的经典解.定理2.4令（yr,zt）是BSDEs（1）的解,（yn,zn）（n=N,N-1,...,0）是变分θ-格式2.3的解.（1）.对1≤k≤m,若那么对足够小的时间步长△t和任意的θ2∈[0,1],我们有（2）.对1≤k≤m,若那么对足够小的时间步长△t和θ1=θ2=1/2,我们有这里C是一个依赖于c0,m,d,T和f,θ,u导数上界的正常数,其中u为PDE（2.3）的经典解.第三章：本章我们考虑非耦合的正倒向随机微分方程我们主要研究非耦合FBSDEs（8）的半离散θ-格式3.1及其误差估计.在数值实验中,我们利用FBSDEs与PDEs的关系,将多资产期权定价的由Black-Scholes方程以及终端条件构成的定解问题转化成非耦合FBSDEs的求解问题,并使用全离散θ-格式来对利差和择好期权进行定价.格式3.1假设（Yn,Zn）（n=N-1,N-2,...,0）为FBSDEs（8）的解析解{（Ystn,Xn,Zstn,Xn）,tn≤s≤T}在s=tn时刻的近似.给定终端条件YN=YT.对n=N-1,N-2,...,1,0,通过以下的方程组求解（Xn+1,Yn,Zn）其中θ1,θ2∈[0,1],θ3∈（0,1].当f=f（t,x,y）和f=f（t,x,y,z）时,对于求解非耦合FBSDEs的半离散θ-格式3.1,我们分别有下面的误差估计.定理3.2令YN=φ（XN）.假设1,...,0）分别为FBSDEs（8）（其中f=f（t,x,y））和θ-格式3.1的解.若那么对我们有这里C是一个正常数,仅依赖于c0,T和b,σ,f,φ,u的导数上界,u为PDE（3.3）的经典解.定理3.4令和（Xn,Yn,Zn）分别为FBSDEs（8）和θ-格式3.1的解.令YN=φ（XN）和若函数和那么我们有其中C是一个依赖于c0,T以及b,σ,f,φ和u导数上界的正常数,u为PDE（3.3）的经典解.第四章：我们考虑一阶双曲型偏微分方程（PDEs）的数值求解问题.利用消逝粘性法以及FBSDEs与PDEs的联系,我们把双曲PDEs的求解问题转化成一类弱耦合FBSDEs的求解问题.当ε充分小时,我们用FBSDEs（10）的解YT-tT-t,x,ε来近似双曲型PDEs （9）的解U（t,x）.在这里,对所有的对弱耦合FBSDEs（10）,我们提出下面的半离散与全离散数值格式.我们通过数值求解给定不同初始条件的线性方程、旋转流场中初始浓度丘的输运问题、Burgers方程和Buckley-Leverett方程等大量数值实验来展示新的数值格式4.2在求解双曲方程方面的有效性、高精度以及其在时间剖分上的优势.数值结果说明,数值格式4.2是一个高阶格式,它能准确高效、无振荡地捕捉激波和接触间断等.此外,数值格式4.2放宽了对条件CFL≤1的限制,也就是说,当CFL>1时,格式4.2也可以用来求解双曲型FDEs（9）.格式4.1假设为FBSDEs（10）的解析解T}在s=tn时刻的近似.给定终端条件yN=U0（x）.对n=N-1,N-2,...,1,0,通过以下的方程组求解（yn,xn+1）格式4.1只是求解弱耦合FBSDEs（10）的半离散格式,为了数值求解（yn,xn+1）,我们需要离散全空间,估计格式中的条件数学期望Etn[·]并且近似函数yn+1在非空间网格点处的取值.为了减少计算条件数学Etn[·]的时间,我们用Gauss-Hermite积分公式来近似计算Etn[·].格式4.2令yiN=U0（xi）,i∈Z.对n=N-1,N-2,...,1,0,通过以下的方程组求解yin（i∈Z）其中Etn[yn+1]和Etn[yn+1]如下定义这里ηj,ωj（j=1,2,...,K）是由（2.39）和（2.40）定义的,Ihyn+1（xjn+1）是网格函数{yin+1,i∈z}利用空间点xjn+1附近的有限网格点插值得到的yn+1在xjn+1点处的近似值.第五章：基于[72]中求解非线性方程级数解的同伦分析思想,我们直接对非线性BSDEs应用同伦分析的方法,得到BSDEs的级数近似解,并以美式期权定价问题作为实例进行具体计算.对非线性BSDE我们引入嵌入变量p∈[0,1]和辅助参数h≠0,构造如下一个双参数倒向随机微分方程族显然,p=0时,方程（13）变成线性BSDE它的解yt0可以直接由线性Feynman-Kac公式得到.p=1时,方程（13）变成非线性BSDE由BSDEs解的存在唯一性知,（yt1,zt1）就是非线性BSDE（12）的解.当p从0变到1,BSDEs（13）的解ytp相应地由一个线性BSDE的解变为原来的非线性BSDE（12）的解.假设我们能选择恰当的φ,β,h,使得ytp和ztp可以展开为关于嵌入变量p的泰勒级数且上述级数在p=1处收敛.若f（t,y）关于y存在l阶偏导数,那么我们有其中我们把ytpk=1,ztp,f（t,ytp）的级数形式代入到双参数倒向随机微分方程族（13）并逐次合并p各次幂的同类项,令系数为零,我们将得到一系列线性BSDEs,并用这些线性BSDEs的解构成的级数来逼近原来的非线性BSDE（12）的解.第六章：本章我们考虑由受限倒向随机微分方程的gΓ-解诱导的风险度量及其下卷积在风险转移模型中的应用.受限BSDE来源于非完备市场的期权定价和对冲问题.在非完备或更一般限制市场中,对冲某个期权的相应的财富过程通常为某个给定概率下的上鞅,因此,在一般的情形下,我们需要考虑倒向随机微分方程的9-上解.定义6.1（g-上解,见[100]）一个三元组（y,z,C）∈DFt2（0,T；R）×τFt2（0,T；Rd）×CFt2（0,T；R）被称为满足限制条件和终端条件yT=ξ的g-上解,如果限制条件（C）和都成立.对任意给定的ξ∈τFT2（R）,我们用Hφ（ξ）表示所有满足限制条件（C）和方程（14）的三元组（y,z,C）所组成的集合.注意到对给定的ξ∈τFT2（R）,咒Hφ（ξ）可能是空集,也可能包含多个元素.如果它非空,[100]证明了最小9-上解存在.定义6.2（受限最小g-上解或gr-解,见[100,101]）一个三元组（yt,zt,Ct）被称为满足限制条件（C）和终端条件yT=ξ的最小9-上解,如果对任意其他的满足同样条件的9-上解（y’t,z’t,C’t）,yt≤y’t,a.e.,a.s.成立.我们也称这样的最小g-上解为gτ-解并记为εt,Tg,φ（ξ）,特别地,当g（t,y,0）=0,φ（t,y,0）=0a.s.对（?）t∈[0,T]成立时,记为εtg,φ（ξ）.我们通过受限BSDEs的最小上解来定义一种风险度量.作为应用,我们将利用风险度量的下卷积来研究最优风险转移问题.我们假定市场交易是存在限制的,在Barrieu和E1Karoui[11]中这样的限制通过一个闭凸集来刻画,并且由这个凸集来产生一个风险度量,而在我们的论文中,风险度量却直接由受限的BSDEs产生.假设两个经纪人的风险度量ρi（ξ）=ε0gi,φi（-ξ）分别由系数为gi,φi,i=1,2的受限BSDEs产生.我们考虑如下的优化问题为了使上述问题有意义,我们必须保证受限最小上解对每一个ξ∈τ∞（FT）都是存在的,所以我们假设,对h=g,φ,h（t,y,0）=0,（?）t∈[0,T],y∈R.这一点可以保证受限BSDE在整个空间τ∞（FT）上有定义.最优问题（15）是经纪人之间风险转移的模型,更多详情可参考Barrieu和El Karoui[11].我们基于对受限BSDEs结构的分析,在一定的假设条件下,得到如下结果.定理6.1如果g和Φ满足假设（Ai）,i=1,2,3并且对h=g,Φ成立,那么当gi=g,Φi=Φ,i=1,2时,ξ=0是问题（15）的一个最优解.上述结果告诉我们,如果两个经纪人的风险度量是由同一个BSDE在相同的限制下产生的,那么他们之间最优的一个方式就是不做风险转移,也就是他们之间不做任何交换.直观地说,既然他们的风险度量是一模一样的,那他们就可以看成是同一部门,自己和自己交换等于没有交换.定理6.2假定函数g和Φ满足条件（Ai）,i=1,2,3,Φ（λz）=λΦ（z）对任意λ>0成立.令ρ（ξ）=ε0g,Φ（-ξ）,gλ（z）=λg（z/λ）,那么我们有定理6.3假设函数g和Φ满足条件（Ai）,i=1,2,3,两个经纪人分别拥有以gλ和gγ为系数的受限最小上解产生的风险度量,那么问题（15）的一个最优解为我们还可以给出gΓ-解的下卷积的动态形式.定理6.5假设gi,i,i=1,2,Φ均为满足条件（Ai）,i=1,2,3的凸函数,Φ（t,z1+z2）≤Φ（t,z1）+Φ（t,z1）,（?）z1,z2成立,并且存在a,b∈R使得gi（t,z）≥az+b,i=1,2.定义g1和g2的下卷积为令（εtg3,Φ（η）,z3（t）,C3（t））为以ξ∈L∞（FT）为终端满足限制条件（C）的gτ-解.z是满足z=arg miny{g1（t,z3（t）-y）+g2（t,y）}dt×dP-a.s.的可测函数,那么下面结果成立：（1）.对任意t∈[0,T]和任意ξ∈L∞（FT）,（2）.如果Φ（t,Z（t））=0,Φ（t,z3（t）-z（t））=0,那么ξ*是问题（15）的最优解,更进一步,我们有第七章：赌徒破产的概率问题是一个经典的破产问题,破产概率的大小直接关系着该游戏者的切身利益.本章我们首先研究了赌博中倍注、斐波那契下注和风险百分比控制下注策略的破产概率问题,然后模拟与比较了三种策略在量化交易中的资金曲线在最大资金回撤和最大资金回撤比值方面的表现.假设玩家拥有赌本100万,最小赌注100元,每次下注玩家赢的概率为p.若我们不考虑最大赌注的限制,而且允许玩家在游戏中赊账,并把“赌本≤0”定义为破产,规定玩家破产后游戏结束.那么玩家在使用倍注策略赌博N次的游戏中破产的风险是多少?由于213=8192,214=16384,故当N≤13时,玩家不可能破产；当14≤N≤6397时,玩家仅有连输14次才会破产.因此,我们可以把破产事件分解成若干相互独立的小事件并计算每个小事件的概率.对足够大的N,若随机变量X表示游戏结束时玩家已参与的赌博次数,那么我们有当N≤73时,利用上面的独立小事件的概率公式我们可以通过求和运算很容易地得到玩家在使用倍注策略赌博N次的游戏中破产概率的计算公式.但随着赌博次数N的不断增加,破产概率的计算变得越发复杂而且难以通过数学推导的方式来给出显式表达式.近年来,计算技术与计算科学的飞速发展使得随机模拟成为科学研究的有力工具,利用随机模拟的方法研究破产概率也成为了一种快捷易行的手段.
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