论文摘要
μ基是源于动曲线与动曲面理论、用以研究曲线与曲面性质的代数工具.因其特殊的代数与几何性质,成为联结曲线与曲面参数表示与隐式表示之间的桥梁.本文中我们将首先讨论基于μ基的平面有理曲线与空间有理曲线奇点的理论及计算.特别地.对平面有理曲线.我们将从由曲线μ基构造的Bezout矩阵的Smith标准型入手,详细讨论平面有理曲线奇点树的计算方法,并给出相应的理论证明.对空间有理曲线.我们将首次提出轴动平面的概念并给出其判断方法.另外,通过分析所有伴随空间有理曲线的动平面,我们给出空间有理曲线上奇点和μ基的联系.并研究所有低次空间有理曲线及某些特殊类型的高次空间有理曲线的奇点类型和数目上界,同时给出相应的奇点算法.随后,我们将讨论广受关注的空间有理曲线的隐式方程问题.在第五章中,我们将同调代数理论与μ基理论相结合,详细分析三次及四次空间有理曲线的动曲面理想生成元,为一般空间有理曲线的动曲面理想生成元的研究开辟可能的道路.而在第六章中,我们集中讨论空间有理曲线在不同层次定义下的隐式方程问题,并对部分曲线给出其隐式方程.最后.我们将详细讨论有理直纹面自交线轨迹的计算。并运用μ基的主子结式序列首次给出有理直纹面自交线轨迹的方程表达.
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致谢摘要Abstract第一章 绪论§1.1 CAGD中曲线与曲面的表示§1.2 曲线与曲面的隐式化§1.2.1 动曲线与动曲面方法§1.2.2 有理曲线与曲面的μ基§1.3 小结第二章 基础知识§2.1 理想、簇及Hilbert零点定理§2.2 模、自由模§2.3 结式§2.4 动曲线与动曲面§2.5 有理曲线与曲面的μ基§2.5.1 平面有理曲线的μ基§2.5.2 空间有理曲线的μ基§2.5.3 有理直纹面的μ基§2.6 多项式矩阵的Smith标准型§2.7 基于伴随矩阵的Bezout矩阵分解§2.8 空间有理曲线的隐式方程第三章 平面有理曲线的奇点理论与计算§3.1 平面有理曲线的奇点§3.2 基于μ基的平面有理曲线的奇点计算§3.2.1 基于μ基的奇点理论§3.2.2 基于μ基和Smith标准型的奇点计算§3.3 无限接近奇点理论§3.3.1 无限接近奇点的定义及成因§3.3.2 平面有理曲线在奇点处的胀开§3.3.3 平面有理曲线上奇点及其δ不变量的计算§3.3.4 例子§3.4 运用μ基对奇点树猜想的证明§3.4.1 齐次多项式矩阵的Smith标准型§3.4.2 Smith标准型的等价转换t.ν（（?）,L）和矩阵Bt.ν（h（t.ν）,L（s,u:t,ν））的Smith标准型'>§3.4.3 矩阵Bt.ν（（?）,L）和矩阵Bt.ν（h（t.ν）,L（s,u:t,ν））的Smith标准型t.ν（（?）,L）)与S(Bt.ν（h（t.ν）,L（s,u:t,ν））)的结合'>§3.4.4 S(Bt.ν（（?）,L）)与S(Bt.ν（h（t.ν）,L（s,u:t,ν））)的结合§3.5 小结第四章 空间有理曲线的奇点理论与计算§4.1 基于动平面的奇点理论§4.1.1 轴动平面§4.1.2 基于动平面的奇点理论§4.2 基于μ基的奇点理论§4.2.1 动平面与奇点的联系§4.2.2 μ基与奇点的联系§4.3 低次空间有理曲线的奇点计算§4.3.1 空间四次有理曲线的奇点§4.3.2 空间五次有理曲线的奇点§4.3.3 空间六次有理曲线的奇点§4.4 小结第五章 空间有理曲线的动曲面理想生成元§5.1 空间有理曲线的动曲面理想§5.2 空间三次有理曲线的动曲面理想生成元§5.2.1 空间三次有理曲线的隐式方程§5.2.2 空间三次有理曲线的动曲面理想生成元分析§5.3 空间四次有理曲线的动曲面理想生成元§5.3.1 空间四次有理曲线的隐式方程§5.3.2 空间四次有理曲线的动曲面理想生成元分析§5.4 小结第六章 空间有理曲线的隐式方程§6.1 空间有理曲线的集论隐式方程§6.1.1（1,m,n）型空间有理曲线§6.1.2（2,2,2）型空间六次有理曲线§6.2 空间有理曲线的完全集论隐式方程§6.3 小结第七章 有理直纹面的自交线§7.1 有理直纹面的自交线计算§7.1.1 有理直纹面上的奇点§7.1.2 自交线参数方程的计算§7.1.3 孤立奇点的计算§7.1.4 算法§7.2 算例§7.3 有理直纹面自交线轨迹的隐式方程§7.4 小结第八章 总结与展望§8.1 本文内容的总结与展望§8.2 μ基研究的展望与应用参考文献作者攻读博士期间完成论文
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