美式期权定价的数值方法

论文摘要

期权是最重要的金融衍生工具之一,它作为一种金融创新工具,在防范和规避风险以及投机中起着非常重要的作用。而如何通过合理的数学模型来确定期权的价格就成了投资者应用期权规避金融风险的关键性问题,所以在金融领域中,期权的定价问题成为理论和应用研究的一个重要领域。对于欧式期权,Black & Sholes早已给出解析形式的定价公式。然而,对于美式期权的定价,并不存在这样的解析公式,也无法求得精确解。而现实世界中,交易所中交易的大多数期权为美式期权。因此,发展各种计算美式期权价格的数值方法具有重要的理论和实际意义。美式期权定价问题的数学模型一般可归结为自由边值问题。本文绪论部分对金融衍生工具及其定价理论作了概括性的回顾;第二部分阐述了衍生证券价格所服从的Black—Scholes偏微分方程;第三部分对传统的二叉树、三叉树模型进行一些改进。即在适当的区域加密树图网格,而其他的区域不予变化,以消除粗糙树图网格中存在的“非线性误差”问题,而更能反映实际情况,使得只增加很少的计算量,就可以达到原本需要更高密度树图才能达到的计算效果。第四部分基于B-S微分方程,对有限差分方法中的一些参数设置方法进行改进,并将传统的内含有限差分法和外推有限差分法进行一定的结合,获得更好的结果。第五部分介绍了多项标的资产欧式期权所派生出来的标准形式,并使用基于对流扩散微分方程的基本解方法（MFS方法）求解派生出来的偏微分方程标准形式。在考虑了美式期权的特点与MFS方法的特性之后,将MFS方法推广到了美式期权的求解。第三、四、五每部分均采用了数值算例验证了该章方法的有效性和实用性。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 1 绪论
• 1.1 选题的背景和意义
• 1.2 论文的研究框架
• 1.3 本文的主要研究工作
• 2 期权定价的 Black-Scholes 模型回顾
• 2.1 期权的基本概念
• 2.2 期权定价的Black-Scholes模型
• 2.2.1 证券价格的变化过程
• 2.2.2 Black—Scholes 期权定价模型的建立
• 2.2.3 Black--Scholes 期权定价模型的检验及评价
• 3 树图模型及其自适应性改进
• 3.1 二叉树模型的基本方法
• 3.1.1 单步二叉树模型
• 3.1.2 二叉树方法的一般定价过程
• 3.2 三叉树模型
• 3.3 树图模型的自适应性改进（自适应网状模型）
• 3.4 数值算例
• 3.5 小结
• 4 有限差分方法
• 4.1 有限差分方法思想
• 4.2 差分过程
• 2f/（?）s²的差分近似'>4.2.1 对（?）f/（?）t、（?）f/（?）s、（?）²f/（?）s²的差分近似
• 4.2.2 差分方程
• 4.2.3 边界条件
• 4.2.4 求解期权价值
• 4.2.5 外推有限差分方法
• 4.3 对有限差分方法的改进
• 4.3.1 定价模型
• 4.3.2 差分方程的建立
• 4.3.3 实证分析
• 4.4 小结
• 5 无网格方法
• 5.1 无网格方法介绍
• 5.2 欧式期权的MFS 方法
• 5.2.1 标准形式
• 5.2.2 基本解
• 5.2.3 终值及边界条件
• 5.3 美式期权的MFS 方法
• 5.4 实证分析
• 5.4.1 单项标的资产的欧式期权的MFS 定价模型
• 5.4.2 单项标的资产的美式期权的MFS 定价模型
• 5.5 小结
• 6 结论
• 致谢
• 参考文献
• 附录
• A 程序
• B 作者在攻读学位期间发表的论文目录