函数值Padé逼近方法及其在积分方程中的应用

论文摘要

本文提出了两种新的函数值Padé-型逼近方法——基于形式正交多项式的函数值Padé-型逼近和函数值部分Padé-型逼近,并将它们应用于第二类Fredholm积分方程特征值的估计和积分方程近似解的求解。同时给出了计算.Padé逼近方法和广义逆Padé逼近方法的行列式公式的数值代数方法。在本文的第二章,我们建立了基于形式正交多项式的函数值Padé-型逼近方法（简记为FPTAVOP方法）。我们首先定义了一个有别于以往的线性泛函,并以此给出了函数值形式正交多项式的概念,同时推导出函数值形式正交多项式的三项递推关系。在此基础上,我通过严格的证明,建立了FPTAVOP的基本结构,即它的分母多项式正是我们前面构造的函数值形式正交多项式,分子多项式也能因此轻松获得。在给出计算FPTAVOP逼近式的有效算法之后,我们通过一个典型的积分方程的数值例子证明了,到目前为止,FPTAVOP方法是估计和计算第二类Fredholm积分方程特征值和近似解的最为有效的数值方法。在本文的第三章,我们建立了函数值部分Padé-型逼近方法（简记为FPPTA方法）。在实际情况中,有时我们只知道积分方程的部分的特征值,那么如何以此获知其余的特征值呢?这就是我们在这一章的主要目标。为此我们首先建立了函数值部分Padé-型逼近的概念,进而讨论了它的代数性质、误差公式、并给出了当用它来估计剩余特征值时产生的最大最小特征值的诸多情况,随后根据它的定义和误差公式构造了它的行列式公式,并通过若干数值例子很好的检验了它的有效性和实用性。在这一章的最后一节,我们论证了FPPTA的两个收敛性定理:de Montessus定理及建立在泛函形式误差公式上的收敛性定理。在本文的第四章,我们力图以数值代数的方法解决出现在Padé逼近中的计算问题。首先我们发现,诸多Padé逼近方法的行列式公式的结构非常相似,同时几种广义逆Padé逼近方法的的行列式公式的结构也非常相似。据此我们归纳和总结了经典Padé逼近方法（包括函数值Padé-型逼近方法）的行列式公式和（函数值、向量和矩阵）广义逆Padé逼近方法的行列式公式,并根据这些行列式公式的特殊结构,通过数值代数方法探讨并给出了求解这些行列式公式的一些算法,同时对有的方法给出了相应的敛性定理。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• §1.1 Padé逼近和Padé-型逼近
• §1.1.1 Padé逼近及其行列式公式
• §1.1.2 Padé-型逼近
• §1.2 第二类Fredholm积分方程简介
• §1.2.1 第二类Fredholm积分方程的历史由来
• §1.2.2 积分方程特征值的定义
• §1.3 已有的函数值Padé-型逼近方法
• §1.3.1 函数值GIPA方法
• §1.3.2 函数值GIPA的ε算法
• §1.3.3 方法IPA、CPA、MPA、SPA及FPTA
• §1.3.4 这些方法的不足之处
• §1.4 本文的主要工作
• 第二章 基于形式正交多项式的函数值Padé-型逼近
• §2.1 函数值Padé-型逼近
• §2.1.1（n-1,n）型函数值Padé-型逼近
• §2.1.2（m,n）型函数值Padé-型逼近
• §2.2 数量形式正交多项式
• §2.2.1 数量形式正交多项式
• §2.2.2 数量形式正交多项式的三项递推关系式
• k+1、B_k+1和C_k+1的计算'>§2.2.3 关于三项递推关系式的系数A_k+1、B_k+1和C_k+1的计算
• §2.3 函数值形式正交多项式
• §2.3.1 函数值广义正交多项式
• §2.3.2 函数值形式正交多项式
• §2.3.3 函数值形式正交多项式的三项递推关系式
• §2.3.4 计算函数值形式正交多项式的算法
• §2.4 基于形式正交多项式的函数值Padé-型逼近
• §2.4.1 关于FPTAVOP的主要定理
• §2.4.2 算法和数值例子
• §2.5 八种函数值Padé-型逼近方法的比较
• §2.5.1 八种方法的计算过程
• §2.5.2 八种方法的估计特征值比较
• §2.5.3 八种方法的近似解比较
• §2.5.4 结论
• 第三章 函数值部分Padé-型逼近
• §3.1 函数值部分Padé-型逼近的定义和代数性质
• §3.1.1 函数值部分Padé-型逼近的定义
• §3.1.2 函数值部分Padé-型逼近的代数性质
• §3.2 关于最大最小特征值的讨论
• §3.3 函数值部分Padé-型逼近的构造
• §3.3.1 函数值部分Padé-型逼近的误差公式
• §3.3.2 函数值部分Padé-型逼近的行列式公式
• §3.4 函数值部分Padé-型逼近的收敛性定理
• §3.4.1 函数值部分Padé-型逼近的de Montessus定理
• §3.4.2 函数值部分Padé-型逼近的泛函形式的收敛定理
• 第四章 数值代数方法在Padé逼近方法中的应用
• §4.1 Padé逼近方法的行列式公式的计算
• §4.1.1 基于对称矩阵三对角化的计算方法
• §4.1.2 基于t向量和z向量的计算方法
• §4.2 广义逆Padé逼近方法的行列式公式的计算
• §4.2.1 三种广义逆Padé逼近方法及它们的其行列式公式
• §4.2.2 求解反对称系统的Arnoldi过程
• §4.2.3 收敛性定理
• 参考文献
• 作者在攻读博士学位期间已完成的论文
• 致谢