几类拟线性椭圆型方程组的正解

论文摘要

本文讨论几类拟线性椭圆型方程组正解的存在性，多解性和不存在性，我们在第二章研究p-Laplacian方程组的径向正解的存在性，其主要方法是细致的先验估计和拓扑度理论，并用两次同伦映射将问题简单化。 在第三章中，我们考虑带有齐次Dirichlet边界条件的拟线性椭圆型方程组在不同参数范围内正解的存在性，多解性和不存在性，由于该问题具有变分结构，因此我们用变分方法来研究解的存在性，然而，当函数a（x），b（x），c（x）变号时，方程组对应的欧拉泛函在空间W01，P（Ω）×W01，q（Ω）中无下界，这给我们直接用变分方法在空间W01，P（Ω）×W01，q（Ω）中找解带来了困难。但是，我们可以证明欧拉泛函在合适的集合S中有下界，因此在该集合中利用变分方法寻找泛函的极小（如果存在）就可以得到原问题的解。在此结论的基础上，我们细致地刻画了纤维映射和集合S（分析知，原问题的解一定落在某个集合S中）以及和它的子集的关系，研究了当参数λ，μ变化时，集合S以及它的子集的结构和变化情况，从而给出正解的存在性，多解性和不存在性。 在第四章中，我们讨论带有齐次Neumann边界条件的拟线性椭圆型方程组（方程和第三章的一样，边界条件不同），研究了正解的存在性和多解性。相对于上一章，我们得到的原问题正解的存在范围更广。在这一章最后，我们讨论的特殊情况，也得到了正解的存在性，这在以前的工作中很少见到。 最后，我们考虑一个源于生态学的拟线性椭圆型方程组的齐次Dirichlet边值问题，利用了参考文献[9]的解藕技巧和方法，巧妙地将方程组化为单个方程，获得了正解的分支结构，并利用分支理论和解的先验估计得到了正解的存在范围。特别地，我们讨论了p=q时的特殊情况，给出了正解的不存在性，存在性和解的结构.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 前言
• 1.1 研究工作的背景和发展概况
• 1.2 本文的主要工作
• 第二章 正的径向解的存在性
• 2.1 引言
• 2.2 先验估计
• 2.3 定理2.1.1的证明
• 第三章 带有Dirichlet边界条件的拟线性方程组多解的存在性
• 3.1 引言
• 3.2 预备知识
• 1（a）,μ<μ₁（b）的情形'>3.3 λ<λ₁（a）,μ<μ₁（b）的情形
• λ₁（a）,μ>μ₁（b）的情形'>3.4 λ>λ₁（a）,μ>μ₁（b）的情形
• 3.5 正解的不存在性
• 第四章 带有齐次Neumann边界条件的拟线性方程组正解的存在性
• 4.1 前言
• 4.2 预备知识
• 1（a）|,0<|μ|<|μ₁（b）|的情形'>4.3 0<|λ|<|λ₁（a）|,0<|μ|<|μ₁（b）|的情形
• |λ₁（a）|,|μ|>|μ₁（b）|的情形'>4.4 |λ|>|λ₁（a）|,|μ|>|μ₁（b）|的情形
• 4.5 一个特殊情况
• 第五章 一类拟线性椭圆方程组的正解的定性分析
• 5.1 前言
• 5.2 预备知识
• 5.3 共存解的分支结构
• 5.4 方程组（5.1.1）共存解的范围
• 5.5 共存解的结构
• 参考文献
• 附录一 攻博期间完成论文列表
• 附录二 致谢