反应扩散方程的渐近周期解及行波解

论文摘要

在应用数学的研究中，揭示微分方程解的渐近性态是一个很重要的课题。譬如，去了解一个种群演化模型的渐近性态就十分有必要，因为这意味着该物种足持续生存还足趋向灭绝。所以这吸引了众多的研究者来从事这方面的研究。为了揭示反应扩散方程解的渐近性态，往往需要先论证边值问题定态解或周期解的存在性，但是对于非周期的时变系统来说这是做不到的。受“加权周期”现象的启发，我们从另一个途径来考察这类问题，也就是要来研究一种特殊的渐近性态一“渐近加权周期性”。另外，针对多维柱体上的反应扩散方程，我们还考察了一种具有特殊渐近性态的解一波前解，也就是通常所说的行波解。对于生物种群来讲，其种群密度的变化不但受环境因素的影响，而且也会受时滞的影响。引起时滞的因素有很多，譬如鸟类的孵化周期、哺乳动物的妊娠期以及食物供给的迟缓补充等。受时滞影响的系统其渐近性态如何?时滞对系统会产生多大的影响?为了回答这样的问题，我们将对食物受限模型和种群竞争模型展开细致的讨论。众所周知，如果函数f（t）满足f（t+T）=f（t），其中丁为某正常数，则它就被称为一个周期函数。这种函数对应着自然界中物质的较为理想的运动变化。但是事情并不总是如此，例如大家常见的阻尼振动。拿单摆来说，由于受到空气阻力的影响，若记单摆的摆角为f（t）则此时w（t）=f（t+T）／f（t）≠1。事实上，此时0<w（t）<l。受此启发我们将“周期”概念拓展为“加权周期”以适应更广泛的研究需要。由于目前的研究还处于初级阶段，在这里仅就常微分方程、脉冲微分方程、偏泛函微分方程中的一些问题对其进行初步的探讨。从研究结果来看，不但加权周期系数会带来方程的渐近加权周期变化，而且脉冲也同样能。自1937年Fisher发现了反应扩散方程的波前解以来，这方面的研究已经有了很大的进展，尤其是对一维空间的情况。对于多维空间上波前解的研究，近些年才陆续出现。Wu J.H.和Zou X．F．等人在这几年发展起来的单调迭代方法，对于解决一维波前解问题具有很大的普适性。正是有鉴于此，我们对多维情况进行了尝试，并发展了一套新的单调迭代方法，使得论证多维柱体上波前解的存在性问题成为可能。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 生态学模型的研究
• 1.2 加权周期现象及其启发
• 1.3 多维行波解的研究
• 1.4 基本原理
• 1.5 备注
• 2 食物受限模型的渐近周期性
• 2.1 问题描述
• 2.2 平凡解的稳定性与周期拟解的存在性
• 2.3 周期解的存在唯一性与渐近周期性
• 2.4 时滞对渐近性的影响估计
• 2.5 数值模拟
• 2.6 讨论
• 3 时滞对竞争模型渐近周期性的影响
• 3.1 问题描述
• 3.2 边值问题周期解的存在唯一性
• 3.3 时滞对渐近性的影响估计
• 3.4 数值模拟
• 4 时滞常微分方程的渐近加权周期性
• 4.1 问题概述
• 4.2 标量方程
• 4.3 差分方程
• 4.4 脉冲方程
• 4.5 应用及数值模拟
• 5 偏微分方程的渐近加权周期性
• 5.1 引言
• 5.2 方程系数引起的渐近加权周期变化
• 5.3 脉冲引起的渐近加权周期变化
• 5.4 应用及数值模拟
• 6 反应扩散方程多维行波解的存在性
• 6.1 问题概述
• 6.2 定态解及比较原理
• 6.3 三界区域上线性椭圆方程单调解的存在唯一性
• 6.4 单调迭代方法与多维行波解的存在性
• 6.5 上、下解的构造及数值模拟
• 7 总结与思考
• 8 附录：加权周期概念 10l
• 参考文献
• 致谢
• 攻读博士学位期间的主要研究成果