退化椭圆方程很弱解的正则性及唯一性问题

论文摘要

A-调和方程是p-调和方程（p＞1）的直接推广，它与拟正则映射和拟共形映射以及弹性理论有着密切的联系；最近几年，它的几何和分析性质得到广泛的研究。本文主要研究有关的更广泛类A-调和型方程很弱解的正则性和唯一性问题，得到几类退化椭圆型方程很弱解的先验估计和有关正则性性质。本文共分如下四章： 第一章介绍了很弱解有关问题研究的简短历史、本文所涉及到的几个问题选题背景及其相关的基本概念。 第二章主要讨论了如下一类非齐次A-调和方程很弱解的唯一性。其中微分算子A（x，·）满足如下三个条件（注：第三、四章的算子A（x，·）假设相同）：（H1）退化椭圆性（H2）Lipschitz条件（H3）齐次性条件本问题将不采用如文献[3]常用的调和分析方法，而是利用T．Iwaniec在研究拟正则映射时给出扰动向量场Hodge分解理论以及估计式，我们的结论是文献[1]中问题结论推广和精细化。 第三章是讨论了如下一类退化椭圆型方程很弱解的正则性问题。给出了当p≥2时，用扰动向量场的Hodge分解和逆H（?）lder不等式理论建立很弱解的可积性提高，从而得到上述方程的很弱解是经典Sobolev意义下弱解的结论；为进一步考虑解可去奇异集性问题作基础。 第四章讨论了如下一类散度型具有自然增长的非齐次项的A-调和型方程很弱解的具有精确指数的局部正则性。

论文目录

• 中文摘要
• ABSTRACT
• 1 很弱解和Caccioppoli型不等式
• 1.1 很弱解概念发展简介
• 1.2 预备知识
• 1.3 Caccioppoli估计与很弱解
• 2 一类非齐次A-调和方程很弱解的唯一性
• 2.1 问题的提出
• 2.2 主要结果及证明
• 3 一类退化椭圆型方程很弱解的正则性
• 3.1 引言
• 3.2 预备引理
• 3.3 主要定理及证明
• 4 非齐次A-调和型方程很弱解的局部正则性
• 4.1 引言
• 4.2 预备引理
• 4.3 主要结果及其证明
• 参考文献
• 附录