论文摘要
李代数是由挪威数学家S.Lie和德国数学家W.Killing在研究无穷小变换的概念时各自独立发现的。由于其在微分方程、微分几何等许多学科中的广泛应用使得该学科得以迅速的发展。结构理论和表示理论是李代数理论中的两个最主要的课题。特别地,无限维李代数的表示理论是许多数学物理学家一直很感兴趣的问题,也是近年来代数学科中最活跃的分支之一。量子群是在二十世纪八十年代由V.G.Drinfeld和M.Jimbo在研究物理问题时,特别是对Yang-Baxter方程的研究中各自独立发现的。量子群不是群,而是特殊的Hopf代数,是一个李代数的普遍包络代数的形变。量子群有一个很重要的结构,即李双代数结构。所谓李双代数就是一个李代数同时具有一个李余代数结构,而这两种结构满足一定的相容条件。对李代数（?）来说,经典的Yang-Baxer方程的解与（?）上的一个三角的李双代数结构是一一对应的关系。计算出经典的经典Yang-Baxter方程的所有解一直是许多数学家和物理学家非常关心的问题。在Hopf代数或量子群理论中,构造李双代数的量子化是产生新的量子群的一个十分重要方法,研究李双代数的重要目的之一就是对其量子化。因此研究李双代数的上边缘的、三角的结构并对其进行量子化是研究量子群的非常重要的课题之一。在量子群的研究中还有一个有趣的课题就是构造李代数的量子形变及其相对应的量子群结构。所谓的李代数的量子形变就是对李代数的李运算中加入一些参数,使之广义化。当参数趋向于1时,李代数的量子形变就回到原来的李代数;另外,李代数的一些性质在它的量子形变中仍然保持。李代数的量子形变在数学物理等学科有着广泛的应用。1958年R.Block引入了一类无限维单李代数（后来被称为Block型李代数）。自此以后,有关研究这类李代数的文章陆续出现。Block型李代数之所以得到如此高的重视,其中一个重要原因在于该代数与Virasoro代数及Cartan型李代数密切相关（广义Block型李代数包括Cartan S型或H型李代数,Virasoro-like及q-类似Virasoro-like等代数）。众所周知,Virasoro代数在数学物理的很多领域有着极其重要的作用,Cartan型单李代数在李代数理论中也起着非常重要的作用。如今,Virasoro代数的表示问题已得到比较完善的解决,然而Cartan型李代数的表示理论却远远不够完善,所以研究一些特殊的Cartan型李代数的结构与表示是一项很有意义的工作。最高权表示无疑是表示理论中的最重要的课题之一。目前对仿射Kac-Moody代数,Virasoro代数,量子代数及Yangians的Verma表示的研究已取得了可喜的成绩,但Verma表示的研究还有待发展,还有很多有趣的没解决的问题。其中之一是对Verma表示的研究进行推广,而推广Verma模本身是一个最自然的想法。研究广义Verma模可以更好地理解经典Verma模的结构和性质。本论文共分四部分,第一部分是研究一类Block型李代数(该代数与著名的李代数W1+∞密切相关,也是Cartan S型或H型李代数的特殊情况)的李双代数结构;研究q-类似Virasoro-like代数的李双代数结构。通过烦琐且富有技巧的计算我们得出它们所有导子的集合中没有外导子。在计算Block型李代数的李双代数结构时,我们应用到了Virasoro代数的中间序列模的已有结果,把Block型李代数在伴随表示意义下看成Virasoro代数的某类中间序列模来处理,把复杂的计算变的清晰而有条理。最后证明了这两类李代数上的李双代数结构是上边缘的,三角的。第二部分是对第一部分的李双代数进行量子化,通过构造Drinfeld扭对李双代数的余乘法和对径点扭一下,但保持乘法和余单位不变来实现。第三部分是研究另一类Block型李代数的广义Verma表示。我们构造了该类李代数的广义Verma模,确定了该表示的不可约性。第四部分是研究Heisenberg-Virasoro代数的量子形变,我们给出了Heisenberg-Virasoro代数的量子形变的一个实现,之后研究它的中心扩张并计算出它的第二上同调群。最后给出与Heisenberg-Virasoro代数的量子形变相对应的非平凡的量子群结构。
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