论文摘要
从1957年Doob, L. J考虑并构造条件布朗运动开始（见[30]）,Doob-h-变换一直是很多学者关心的问题（见[6,25,32,36,62,65,66,81]等及其参考文献）。任给一对L2（E；m）上的有保正性的强连续压缩对偶半群（Tt）t>0和（Tt）t>0,通过它们的一对α-过分函数h及共轭-α-过分函数h对它们做hh-变换,本文得到一对L2（E;hh·m）上的强连续压缩的次马氏半群（Tt/h）t>0和（Tt/h）t>0（见定理2.2.1,定理2.2.2）,并且得到它们在新的空间L2（E；hh.m）上是对偶的（见定理2.2.3）,还分析了它们的无穷小生成元（见命题2.2.1及命题2.2.2）。特别地,如果（Tt）t>o和（Tt）t>0中的一个（不妨设（Tt）t>0）有次马氏性,则我们得到一对L2（E；h.m）上的对偶的强连续压缩次马氏半群（e-atTt）t>0和（Tt/h）t>0（见定理2.2.4）。最后在拟正则狄氏型框架下,本文给出了（Tt）t>0和（Tt）t>0在一定意义下结合一对右过程的充要条件为其联系的保正型（￡,D（ε））是拟正则的,进而得到这对右过程在新的测度hh.m下是弱对偶的,并且满足一般的Hunt-假设：从几乎所有点出发都不能立即到达的集合永远不能到达（即是ε-例外集）（见定理2.2.6）。特别地,当（Tt）t>0和（Tt）t>0联系着一个拟正则半狄氏型时,也有类似的结果（见定理2.2.7）。拟正则狄氏型与右过程的一一对应关系（见[14,52,53]等）,为研究经典的位势论及随机分析提供了一个有力的工具。狄氏型的扰动以及与之紧密联系的算子扰动以及广义Feynman-Kac半群等,一直是国际上狄氏型及其相关领域的一个研究热点。而有关广义狄氏型的符号光滑测度扰动却一直没多少人讨论,在这个问题上本文做了一些探讨,给出了扰动后的二次型仍然是广义狄氏型的几个充分条件（见定理3.2.1,定理3.2.2,定理3.2.3）,以及扰动后的广义狄氏型结合马氏过程的充分条件（见定理3.2.5）。特别地,本文还研究了非对称狄氏型扰动的相关问题。任给一个非对称的拟正则狄氏型,本文研究了一类特殊的位势项,得到它们是拟连续的,并且刻画了这类特殊的位势项在扰动后狄氏型定义域中的充分条件（见定理3.3.1）；然后利用这一结果直接证明了两个常用的转换等式（见命题3.3.1）。在最后一章中,本文综合利用h-变换,狄氏型扰动以及Girsanov变换三种方法,刻画了布朗运动零能量可加泛函的渐近性（见定理4.2.3）。下面我们按章节顺序简单叙述一下本文的主要内容。第一章第一节叙述本文的研究背景及主要研究结果；第二节介绍一些基本概念及一些已有的结论。第二章第一节给出保正型的h-变换的一些最新结果并引入本文要解决的问题。第二节首先定义了L2（E；m）空间上保正半群（Tt）t>0和（Tt）t>0的hh-变换：容易验证变换后的半群都有次马氏性,然后我们证明了（Tth）t>0和（Tth）t>0分别是L1（E;hh-m）和L∞（E;hh·m）上的压缩算子（见命题2.2.1）,再利用Riesz-Thorin插值定理,得到它们都是L2（E;hh·m）上的压缩算子（见命题2.2.1）,进而证明它们都是L2（E;hh·m）上的强连续压缩的对偶半群（见定理2.2.1,定理2.2.2,定理2.2.3）。最后在拟正则狄氏型框架下,本文给出了（Tt）t>0和（Tt）t>0在一定意义下结合一对对偶右过程的充要条件（见定理2.2.6）。特别地,对于一对与拟正则半狄氏型结合的半群,我们得到了类似的结果。第三章研究广义狄氏型的扰动,并探讨了非对称狄氏型扰动后的一类位势项的性质。第一节,我们简单叙述广义狄氏型以及非对称狄氏型扰动的研究背景。第二节主要研究如下形式的广义狄氏型的扰动：得到当μ属于Hardy-类的光滑测度时,扰动后的二次型εμ的定义域以及范数保持不变（见引理3.2.1）,且εμ仍然是广义狄氏型（见定理3.2.1）；还给出了当μ是符号光滑测度时,εμ是广义狄氏型的充分条件（见定理3.2.3）,及这个广义狄氏型结合右过程的一个充分条件（见定理3.2.5）。在第三节中,设（X,X）为与拟正则的（非对称）狄氏型（ε,D（ε））联系的一对对偶的马氏过程。μ为光滑测度,对任意的f∈L2（E；μ）,任意实数α,p>0,定义如下位势项：我们得到UAα+pμf以及UAα+pμf是拟连续的并且在扰动后的狄氏型定义域D（εμ）中（见定理3.3.1）；进而利用狄氏型理论得到了两个转换等式（见命题3.3.1）,并给出了该结果的一个应用（见命题3.3.2）：当一对对偶过程（X,X）联系着一个狄氏型时,任给一个光滑测度μ及其唯一对应的正的连续可加泛函At以及At,（Y,Y）是分别由At以及At诱导的（X,X）的时间变换过程,则Y和Y是L2（E；μ）上的一对对偶的右过程。第四章主要给出h-变换以及狄氏型的扰动在广义Feynman-Kac泛函的渐近性以及对偶过程时间变换等方面的应用,得到如下结果（见定理4.2.3）：如果Lt/-u“是鞅,u有界,那么对任意的x∈Rd有这里
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