关于不定方程x~3±27=Dy~2

论文摘要

不定方程不仅自身发展异常活跃,而且全面应用于离散数学的其他各个领域。它对人们学习研究和解决实际问题有着重要作用。因此,国内外有不少学者对不定方程进行了广泛深入的研究。关于不定方程x3±27 =Dy2（ D >0）已有不少研究工作,特别是当D无平方因子且无6 k +1形状的素数因子时,已有很多很好的结果。但当D不含平方因子,且被6 k +1型素因数整除时,方程的求解比较困难。当3| x,0 < 3D<100时,不定方程x3±27 =Dy2可转化为x13±1 = 3Dy12,这两类方程的整数解已全部解决;但当3 /| x,0 < 3D<100时,不定方程x3±27 =Dy2的整数解的问题至今仍未解决。本文主要利用递归序列、同余式、maple程序以及Pell方程的性质、平方剩余,主要证明了五组不定方程x3±27 =Dy2（D=7,13,19,26,31）的所有整数解。本文分四个章节来说明。第一章综述了关于不定方程x3±27 =Dy2的国内外研究现状。第二章给出了全文的预备知识,对Pell方程的性质、递归序列的由来和同余式的方法都有简单的介绍。第三章主要分五节具体证明了不定方程x3±27 =Dy2（D=7,13,19,26,31）的全部整数解。第一节证明了不定方程x3 + 27 = 7y2仅有整数解（ x ,y）=（-3,0）,（ 1 ,±2 ）,不定方程x3 - 27 =7y2仅有整数解（ x ,y）=（3,0）;第二节证明了不定方程x3 + 27 = 13y2仅有整数解（ x ,y）=（-3,0）,不定方程x3 - 27 = 13y2仅有整数解（ x ,y）=（3,0）;第三节证明了不定方程x3 + 27 = 19y2仅有整数解（ x ,y）=（-3,0）, （ 24,±9）, （ -2 ,±1）,不定方程x3 - 27 = 19y2仅有整数解（ x ,y）=（3,0）;第四节证明了不定方程x3 + 27 = 26y2仅有整数解（ x ,y）=（-3,0）, （ -1 ,±1）, （ -7 19,±3781）,不定方程x3 -27 = 26y2仅有整数解（ x ,y）=（3,0）;第五节证明了不定方程x3 + 27 = 31y2仅有整数解（ x ,y）=（-3,0）,不定方程x3 -27 = 31y2仅有整数解（ x ,y）=（3,0）。第四章对全文作了一个总结,并对未来可能的发展方向提出了一些有待研究的问题。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 1 绪论
• 3±27 = Dy² （D > 0 ）'>1.1 关于不定方程x³±27 = Dy² （D > 0 ）
• 1.2 本文的安排
• 2 预备知识
• 2.1 同余，同余式及其性质
• 2.2 Legendre 符号与Jacobi 符号
• 2.3 Pell 方程的定义及解的性质
• 3±27 = Dy²'>3 关于不定方程x³±27 = Dy²
• 3±27 = 7 y²'>3.1 关于不定方程x³±27 = 7 y²
• 3±27 = 13 y²'>3.2 关于不定方程x³±27 = 13 y²
• 3±27 = 19 y²'>3.3 关于不定方程x³±27 = 19 y²
• 3±27 = 26 y²'>3.4 关于不定方程x³±27 = 26 y²
• 3±27 = 31 y²'>3.5 关于不定方程x³±27 = 31 y²
• 4 结束语及后继工作
• 参考文献
• 研究生期间发表的论文
• 致谢