基于MLS的数值流形无网格化方法研究

论文摘要

本文对数值流形方法(NMM)和无网格法(EFM)特别是目前运用相对成熟的无网格迦辽金法(EFG)理论进行深入研究，总结了各自的优点与不足之处，发现两者相辅相成，互补性非常强。如果能将两种方法的优点相结合，或说将两种方法的核心思想或数值技术相融合，则不仅可以解决前处理与裂纹开裂扩展方面的难题，同时也可以将连续与非连续变形问题的数值分析统一起来。在对数值流形方法和无网格迦辽金法(EFG)理论研究的基础上，本文将数值流形方法的有限覆盖理论和无网格法的无网格插值技术有机结合起来，并针对其各自的优缺点，提出了一种基于移动最小二乘法(MLS)的数值流形无网格化方法。这种方法摒弃了单元和网格，采用有限圆覆盖技术和shepard函数即0阶移动最小二乘形函数直接在求解域内的离散点上构造近似函数，选择三次样条曲线作为权函数，并引入罚函数处理本质边界条，最后利用背景网格对由变分原理导出的总体方程进行高斯积分，可以看作是数值流形方法实现的另一种特殊形式。该方法继承了这两种新颖的数值方法的主要优点，而且同时克服了它们各自的不足之处，大幅度简化了数值流形方法的前处理过程，并在无网格条件下简单实现了连续与非连续变形问题的统一，是一种更有效的数值方法。论文最后将这种无网格化的数值流形方法应用于端部受集中载荷的悬臂梁算例中，验证了该方法的可行性和有效性。同时在算例中将该方法与原数值流形方法和无网格迦辽金法进行多方面的比较，结果表明：该方法前处理简单、求解精度高、计算时间少，比无网格迦辽金法具有更高的计算效率，并且更易于编程实现。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 目录
• CONTENT
• 第一章 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 几种数值分析方法的研究现状及最新进展
• 1.2.1 数值流形方法研究现状及最新进展
• 1.2.2 无网格法研究现状及最新进展
• 1.3 论文的研究思路
• 1.4 本文的研究内容
• 第二章 数值流形方法的基本理论
• 2.1 引言
• 2.2 数值流形方法的基本原理
• 2.2.1 数值流形方法的一般有限覆盖系统
• 2.2.2 由有限元网格形成的有限覆盖系统
• 2.3 数值流形方法总体近似函数的构造
• 2.3.1 覆盖权函数
• 2.3.2 覆盖函数
• 2.3.3 总体位移函数
• 2.4 数值流形方法总体控制方程的形成
• 2.5 有限覆盖的单元矩阵
• 2.5.1 流形单元的刚度矩阵
• 2.5.2 初应力矩阵
• 2.5.3 点载荷矩阵
• 2.5.4 固定点矩阵
• 2.6 数值算例
• 2.7 本章小结
• 第三章 无网格法的基本理论
• 3.1 引言
• 3.2 无网格法的基本知识
• 3.2.1 紧支近似函数
• 3.2.2 离散原理
• 3.2.3 权函数
• 3.2.4 数值积分
• 3.2.5 无网格方法小结
• 3.2.6 边界条件的处理
• 3.3 无网格迦辽金法（EFGM）算例
• 3.4 本章小结
• 第四章 基于MLS的数值流形无网格化方法
• 4.1 引言
• 4.2 基于MLS的数值流形无网格化方法的基本原理
• 4.2.1 有限圆覆盖技术
• 4.2.2 移动最小二乘法（MLS）
• 4.2.3 权函数的选取
• 4.2.4 数学覆盖半径的选取
• 4.2.5 由变分原理导出总体方程
• 4.3 刚度矩阵及各种等效载荷矩阵
• 4.3.1 求解域Ω内任意点χ处的近似场函数表达形式
• 4.3.2 求解域Ω内任意点χ处的应变矩阵B
• 4.3.3 求解域Ω内任意点χ处的应力矩阵S
• 4.3.4 材料刚度矩阵K
• 4.3.5 初始应力矩阵
• 4.3.6 点载荷矩阵
• 4.3.7 己知位移边界矩阵
• 4.4 求解域Ω上的数值积分
• 4.4.1 数值积分点的布置
• 4.4.2 数值积分方法
• 4.5 数值算例
• 4.6 本章小结
• 总结与展望
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表的论文
• 致谢