基于小波和变分PDE的图像建模理论、算法及应用

论文摘要

小波分析和变分PDE理论是目前图像处理和低层视觉分析领域的两大基本数学工具。本论文主要围绕二者在图像处理中的建模和应用来进行研究。主要做了以下几个方面的工作:1.以图像恢复为应用背景,探讨了BV正则化空间中G模型（带有自适应逼近项的广义TV方法）和OSV模型（带有H?1范数的TV变分模型）分别与“纯粹的”各向异性扩散方程和小波分析的有机结合。首先,针对PDE去噪方法中非线性扩散方程与变分法的联系,对G模型作了改进,提出一个基于TV和各向异性扩散方程的图像恢复模型。通过引进“纯粹的”各向异性扩散方程的扩散项,该方法不但能够有效地去除噪声、保持边缘的位置,而且能够更好地保持图像中的纹理特征和不能用边缘刻画的大尺度细小特征,使处理过的图像清晰度和对比度大大增加。其次,根据小波系数范数和H?1范数的等价性,在OSV模型基础上提出一个新的TV去噪模型。该方法实现了图像几何信息（曲率）与小波分解的结合,从而避免了在时域中求解复杂的非线性PDE。最后,通过分析OSV模型的性质（v在L2 （Ω）中均值为零）,给出其在小波域中类似Galerkin方法的求解算法。实验表明该算法具有可行性。2.主要致力于研究变分模型在图像分解中的应用。针对Meyer提出的TV极小化框架下的振荡函数建模理论,给出其理论模型（BV, G ）和（BV, E ）在Besov空间中的推广。然后,根据Besov半范数与小波系数范数的等价性,建立了推广模型在小波域中的快速求解方法,从而避免了求解传统意义上的非线性PDE。具体地讲,主要有三方面的内容:第一,提出一类基于Besov空间与负Hilbert-Sobolev空间的变分模型。通过小波系数范数的等价刻画,该模型的解都可以解释为作用于单个小波系数的不同阈值函数。第二,在上述变分模型的基础上,修正Besov光滑项,从而提出基于小波投影的求解算法。算例表明该模型的解都可以表示为不同的小波全局阈值函数。第三,提出一类基于Besov空间与齐次Besov空间的变分模型,并给出其基于不同小波阈值的逐次迭代算法和相应的收敛性分析。3.给出三种迭代正则化算法:一是基于VO变分模型的迭代正则化。通过采用广义Bregman距离,对VO变分模型定义了新的迭代正则化序列,并由此推导出相应的算法。实验表明该算法可以进一步改善VO变分模型在纹理图像恢复中的不足。二是给出一类基于Besov空间B1α,1 （Ω）（α> 0）的迭代正则化。通过引进平移不变的小波变换,新迭代正则化的解都可以解释为依赖于小波尺度、Besov光滑阶、尺度参数以及迭代次数的小波阈值函数。然后,借鉴全变差（TV）图像恢复的思想将上述迭代正则化方法推广到一类基于平移不变小波变换的加权逆尺度空间。最后,研究了一种基于等级分解的图像多尺度表示方法。通过引进单调的尺度参数,该方法为图像在中间空间,BVθ（θ∈[0,1]）的特征刻画提供了一种分级的自适应表达式。实验表明新算法是有意义的。4.在AAFC图像分解变分模型的基础上,通过引入半二次规整化思想,导出一个耦合边缘提取的图像分解变分模型,从而实现了图像结构、振荡成分（纹理或噪声）与边缘三种特征的同时提取。同时,探讨了新模型基于投影与耦合PDE系统的逐次迭代算法与相应的数值离散。实验表明,对目标图像与边缘均引入各向异性扩散机制的耦合PDE系统和投影算法能够取得较好的图像分解和边缘检测效果。5.提出一种新的图像放大算法。首先,用Besov范数刻画图像的正则性构造一个变分泛函,然后极小化该变分泛函就得到放大图像。其次,利用Besov范数与小波系数范数之间的等价描述,新的变分问题就完全转化为基于小波域的变分序列,其相应的最优解都可以表示为基于小波域的正交投影。

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摘要

Abstract

第一章绪论

1.1 小波分析的发展历史和现状

1.2 变分PDE在图像处理中的发展历史及主要模型

1.2.1 变分PDE方法的提出

1.2.2 变分PDE在图像处理中的发展历史

1.2.3 变分PDE在图像处理中的主要模型

1.3 论文所做的工作和文章结构

1.3.1 论文的主要工作

1.3.2 论文的具体章节和内容安排

第二章图像恢复中TV变分模型的研究

2.1 TV变分模型在图像恢复中的研究现状

2.2 基于TV和各向异性扩散方程的图像恢复模型

2.2.1 “纯粹的”各向异性扩散方程

2.2.2 新模型的提出

2.2.3 新模型的离散格式

2.2.4 实验仿真

2.3 用于TV图像去噪的小波方法

2.3.1 基于小波空间的TV图像去噪模型

2.3.2 新模型的解存在性定理

2.3.3 实验仿真

2.4 基于小波空间的图像恢复变分模型

2.4.1 主要思想

2.4.2 新方法的描述

2.4.3 解的存在性定理

2.4.4 算法

2.4.5 数值实验

2.5 小结

第三章 Besov空间中的变分模型

3.1 研究背景

3.1.1 Besov空间的描述

3.1.2 变分PDE在图像分解中的研究现状

3.2 一类基于Besov 空间与负Hilbert-Sobolev 空间的变分模型

3.2.1 主要思想

3.2.2 新变分模型的极小化

3.2.3 新变分模型的解与小波阈值之间的关系

3.2.4 实验仿真

3.3 基于投影的图像分解变分模型

3.3.1 新变分模型的极小化

3.3.2 小波阈值与投影之间的关系

3.3.3 实验仿真

3.4 一类基于Besov 空间与齐次Besov空间的变分模型

1,1^S,E,)模型'>3.4.1 (B_1,1^S,E,)模型

3.4.2 （?）模型

3.4.3 （?）模型

3.4.4 算法

3.4.5 算法的收敛性分析

3.4.6 实验仿真

3.5 小结

第四章迭代正则化、逆尺度空间与图像多尺度表示方法

4.1 基于VO变分模型的迭代正则化

4.1.1 基于ROF变分模型的迭代正则化（OBG模型）

4.1.2 基于VO变分模型的迭代正则化

4.1.3 数值离散

4.1.4 实验仿真

4.2 基于平移不变小波阈值的迭代正则化与逆尺度空间方法

4.2.1 Xu方法的介绍

1,1^α （ Ω）（α> 0 ）中的推广'>4.2.2 Xu迭代正则化方法在Besov空间B_1,1^α （ Ω）（α> 0 ）中的推广

4.2.3 基于平移不变小波变换的非线性逆尺度空间

4.2.4 实验仿真

-1)等级分解的图像多尺度表示方法'>4.3 基于(BV,H^-1)等级分解的图像多尺度表示方法

4.3.1 中间空间的介绍

-1)等级分解的图像多尺度表示'>4.3.2 基于(BV,H^-1)等级分解的图像多尺度表示

4.3.3 新方法的相关数学性质

4.3.4 新方法的数值离散

4.3.5 实验仿真

4.4 小结

第五章基于半二次规整化的图像分解与边缘提取变分模型和基于小波投影的图像放大变分模型

5.1 背景介绍

5.1.1 图像分解变分模型

5.1.2 模型（5-1）的优化策略

5.1.3 半二次规整化的基本原理

5.2 耦合边缘提取的图像分解变分模型

5.2.1 新模型的描述

5.2.2 新模型的数值离散

5.2.3 实验仿真

5.3 基于小波投影的图像放大变分模型

5.3.1 Chambolle模型

5.3.2 新模型的描述

5.3.3 有关新模型的实例

5.3.4 算法

5.3.5 实验仿真

5.4 小结

第六章总结与展望

致谢

参考文献

攻读博士学位期间发表（录用）论文和科研情况

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