常微分方程初值问题的线性多步法公式的改进与变异

论文摘要

本文在常微分方程初值问题的线性多步法公式研究状况的基础上,进行了进一步的研究。对一些线性多步法公式进行了改进和变异;推导出了对求解常微分方程初值问题更好的公式;研究了这些公式的误差和稳定性;并给出了一类新的具有良好性质的公式。本文主要的工作有以下几个方面:首先,改进了Adams-moulton公式,得到了一类更稳定的线性多步法公式。其次,改进了一类k步k+1阶线性多步法公式,得到了一类更稳定k步k阶的线性多步法公式。然后,计算出了公式的分数形式的系数、误差主项系数、阶数、绝对稳定区间。并且应用根轨迹法绘制了其中一些绝对稳定的公式的稳定区域的图形,并对以上公式与改进前的公式作了比较。最后给出了一类k步k+2阶含二阶导数的线性多步法,求出了公式的分数形式的系数,阶数和局部截断误差主项系数,绘制了根轨迹图。并用对比数值实验验证了公式确实是稳定的,并且适合于求解刚性常微分方程。本文的成果对常微分方程初值问题数值方法的理论研究和应用实践都具有重要意义。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 1 绪论
• 1.1 论文的研究背景及意义
• 1.2 国内外研究现状
• 1.3 研究思路
• 1.4 文章结构安排
• 1.5 主要创新点
• 2 初值问题数值方法的基本理论
• 2.1 常微分方程的数值解法
• 2.2 线性多步法的构造
• 2.3 线性多步法的相容性和误差估计
• 2.4 线性多步法的收敛性
• 2.5 线性多步法的稳定性
• 2.6 线性多步法的绝对稳定性与绝对稳定域
• 2.7 线性多步法的边界轨迹法
• 2.8 刚性方程的线性多步法稳定性概念
• 3 线性多步法的改进
• 3.1 一般线性多步法公式的介绍
• 3.2 Adams-Moulton 公式的改进
• 3.2.1 Adams-Moulton 公式的介绍
• 3.2.2 Adams-Moulton 改进公式的构造
• 3.2.3 改进前后公式的稳定域及误差比较
• 3.2.4 数值试验
• 3.3 一类 k 步 k+1 阶线性多步法公式的改进
• 3.3.1 k 步k+1 阶线性多步法公式的介绍
• 3.3.2 改进k 步k+1 阶线性多步法公式的构造
• 3.3.3 改进前后公式的稳定域及误差比较
• 3.3.4 数值试验
• 3.4 本章小结
• 4 含二阶导数的线性多步法的变异
• 4.1 二阶导数的线性多步法的构造
• 4.2 一类 k 步 k+2 阶公式的推导
• 4.3 数值实验
• 4.4 本章小结
• 5 结论与展望
• 5.1 结论
• 5.2 展望
• 致谢
• 参考文献
• 附录：作者在攻读硕士学位期间发表的论文