论文摘要
数学、物理、流体力学、工程技术和经济学等学科中的许多问题最终都归结为求解大型稀疏矩阵的线性代数方程组.使用迭代法求解方程组充分利用了矩阵的稀疏性,从而节省大量计算存储空间,故其在求解大规模计算问题中发挥着重要的作用,成为求解大型稀疏代数方程组的实用方法.对于不收敛的或者收敛速度比较慢的迭代格式是没有实用价值的,而我们需要的是收敛性好且收敛速度比较快的迭代法,这样才具有现实意义.为了更快更好地求解大型稀疏线性方程组,先后有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法等,而在引入了松弛因子和加速因子之后,又出现了SOR迭代法、AOR迭代法等基本迭代法.近几年来稀疏线性代数方程组的迭代解法又有了新发展,特别是引入预条件矩阵的作用后,大大加快了迭代的收敛速度,从而满足人们的计算需求.本文是在前人的基础上提出了一个新的预条件矩阵I + S,对稀疏线性方程组讨论了当系数矩阵分别为非奇异的M-矩阵、H-矩阵时,预条件下SOR迭代法的收敛性及其速度与经典SOR迭代法收敛速度的比较分析,以及预条件下JOR迭代法的收敛性及其速度与经典的JOR迭代法收敛快慢的比较分析,不但证明了在新预条件子作用下的收敛性,还得到了在预条件下SOR（简记为PSOR）、预条件下JOR（简记为PJOR）等迭代法的收敛速度明显快于以往经典的SOR、JOR迭代法,从而证明了本文提出的新预条件子的优越性.以下为本文的结构和主要内容:第一部分是引言,我们给出了预条件方法产生的背景,以及基本的SOR迭代法,JOR迭代法等的迭代矩阵,并引进了预条件矩阵P,分别给出了预条件下SOR迭代法和JOR迭代法的迭代矩阵.第二部分是预备知识和已有的相关结论,重点介绍了一些重要定义引理,如M-矩阵,H-矩阵,矩阵分裂等及其近几年前人在预条件方法上已经取得的一些重要成果和工作,进而提出了本文的新预条件子.第三部分是本文的主要结论的之一,这一部分我们在假设系数矩阵为非奇异和不可约M-矩阵,以及H-矩阵的条件下,证明了在新预条件子的作用下他们的收敛性.第四部分是本文的主体部分,这一部分在第三部分基础上对预条件SOR迭代法、JOR等迭代法的收敛性进行了证明,并与SOR、JOR等方法进行了比较,最后得出了在新预条件子作用下矩阵的收敛速度明显快于经典迭代法,并且通过数值例子验证了我们理论结果的正确性.第五部分是小结,主要对本文主要思想和主要结论进行了总结,然后对预条件方法的发展前景作了展望.
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