n！标准分解式指数的一些研究

论文摘要

若p1，p2，…为从小到大排列的所有素数．对于正整数n，令epi（n）为满足piepi（n）|n和piepi（n）+1|n的非负整数。在1980年，Erd（?）s和Graham提出了猜想：对所有正整数k、总存在无穷多个正整数n使得ep1（n!）,ep2（n!），…，epk（n!）都是偶数。在1997年，D.Berend证明了Erd（?）s和Graham的猜想。此后，陈永高和朱尧辰，J．W．Sander，陈永高，F．Luca和P．St（?）nic（?）都先后研究过该系列问题，并将Erd（?）s和Graham猜想的结论在不同程度上进行了深化或推广。在本论文中，我们就该系列问题，主要研究了n!的标准分解式中指数对于模m的一些问题，得到的主要结果现在阐述如下：1．设p为素数，m为正整数。我们证明了对于任给的素数p和任给的整数m，ep（n!）对于模m而言是均匀分布的。其中m=2时的结果为J．W．Sander文中的结果，我们所得到的m=3时的结果已发表在Bull.Austral.Math.Soc．上。另外一个结果是我们得到了关于ep（n!）对模p的渐进公式中更为精确的余项。2．设p，q为素数，m为正整数。我们推广了J．W．Sander的一个结果，其结果已经发表在J．Number Theory上：对任意的模m，存在一个常数D（m）使得当ε，δ∈Zm且p，q为满足max{p，q)≥D（m）的两个不同的素数时，存在无穷多个正整数n使得

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• 0 Detailed abstract in Chinese
• 0.1 Background and related results
• 0.2 Main results
• 1 Preface
• 1.1 Definitions and notations
• 1.2 Background and some related results
• 1.3 Main results
• 2 Well distribution of the exponents modulo m in the standard factorization of n!
• 2.1 Introduction
• 2.2 Main results
• 2.3 Lemmas
• 2.4 Proofs of main results
• 3 On the exponents modulo m in the standard factorization of n! with two distinct primes
• 3.1 Introduction
• 3.2 A main result
• 3.3 Lemmas
• 3.4 Proof of the main result
• Bibliography
• Acknowledgements