一些随机变量序列部分和的大偏差定理

论文摘要

近两个世纪以来，有关随机变量序列部分和的各种收敛性问题，如大数定律和中心极限定理等，一直是概率极限理论研究的主要问题，而关于随机变量序列部分和的大偏差却研究得很少。设{Xn，n≥1}是定义在概率空间（Ω，F，μ）上的随机变量序列，Sn=sum from i=1 to n Xi，Xn∈Lp，n≥1，1≤p＜∞。如果{Xn，n≥1}是独立同分布（i.i.d.）的随机变量序列，则由弱大数定律知（?）μ（|Sn|＞nx）=0，x＞0。更一般地，如果随机变量序列{Xn，n≥1}是强平稳的，则遍历性定理蕴含了上述结果仍然正确、有关μ（|Sn|＞nx）的收敛速度的问题，已经引起了很多学者的关注，在这中间，Nagaev（Theory Probab.Appl.10（1965），214-235）得到了估计：μ（|Sn|＞n）=o(n1-p)，1≤p＜∞，Xi∈Lp，Lesigne和Volny（Stochastic Process.Appl.96（2001），143-159）又证明了上述估计是最优的；如果{Xn，n≥1}是鞅差序列，Lesigne和Volny（Stochastic Process.Appl.96（2001），143-159）证明了：如果supiE(e|Xi|)＜∞，则存在常数c＞0，使得μ（|Sn|＞n）≤e-cn1/3，这个估计对于强平稳和遍历的鞅差序列来说是最优的；如果鞅差序列{Xn，n≥1}满足：Xi∈Lp，2≤p＜∞，Lesigne和Volny（Stochastic Process.Appl.96（2001），143-159）又得到了估计：μ（|Sn|＞n）≤cn-p/2，并且还证明了这个估计对于强平稳和遍历的鞅差序列来说也是最优的；Yulin Li（Statistics and Probability Letters，62（2003），317-321）又将此结果推广到p∈(1，2]的情形，利用Burkholder不等式、Cr不等式和鞅的极大值不等式得到了估计：μ（|Sn|＞n）≤cn1-p，在一定情况下，这个估计是最优的。本文主要利用ρ混合序列、φ混合序列、（?）混合序列、（?）混合序列、NA序列、M-Z序列和线性过程序列的一些矩不等式，研究了它们的部分和序列Sn的大偏差定理，并且得到了与独立序列和鞅差序列类似的大偏差定理。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• §2.1 引言
• §2.2 重要的不等式和引理
• 第二章 ρ混合序列和ψ混合序列部分和的大偏差定理
• §2.1 定义
• §2.2 必要的引理
• §2.3 主要结论
• 第三章 （?）混合序列和（?）混合序列部分和的大偏差定理
• §3.1 定义
• §3.2 必要的引理
• §3.3 主要结论
• 第四章 NA序列部分和的大偏差定理
• §4.1 定义及性质
• §4.2 必要的引理
• §4.3 主要结论
• 第五章 M-Z型随机变量序列部分和的大偏差定理
• §5.1 定义
• §5.2 主要结论
• 第六章 线性过程序列部分和的大偏差定理
• §6.1 定义
• §6.2 必要的引理
• §6.3 主要结论
• 参考文献
• 致谢
• 读研期间科研情况