求解对称矩阵特征值问题的Lanczos算法的改进及分析

论文摘要

本论文主要研究了求解大型稀疏对称矩阵的特征值的Lanczos算法,针对初始Lanczos向量的赋值问题,提出了一种新的算法EM-Lanczos算法,并对正定Hamilton矩阵给出了平方辛EM-Lanczos算法。首先,阐述了矩阵特征值问题相关算法的发展历史,并介绍了一类特殊矩阵Hamilton矩阵特征值问题的背景。其次,对于求解大型稀疏对称矩阵的Lanczos算法进行了分析。针对算法过程中正交性丢失的现象,用选择再正交化策略进行弥补,得到了选择正交化Lanczos算法,该算法能以较少的额外工作量保持Lanczos向量几乎正交。最后,提出了EM-Lanczos算法。当要求的矩阵特征值的特征向量与Lanczos初始向量所赋值几乎正交时,算法可能会出现“误收敛”,于是提出了修正的EM算法。运行该算法得到初始Lanczos向量,然后进行Lanczos算法求解特征值,就得到了EM-Lanczos算法。作为一个应用,对于正定Hamilton矩阵,利用平方辛EM-Lanczos算法求解其特征值。数值算例及误差分析表明,利用EM-Lanczos算法求特征值,解的精度得到了提高。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 课题背景及来源
• 1.2 矩阵特征值相关算法概述及研究现状
• 1.2.1 特征值问题算法
• 1.2.2 EM算法背景
• 1.3 Hamilton矩阵及特征值背景
• 1.4 本文主要研究内容
• 第2章 对称矩阵的Lanczos方法
• 2.1 对称特征值问题
• 2.2 Lanczos算法基础
• 2.2.1 Lanczos迭代
• 2.2.2 瑞利－里茨方法
• 2.3 Lanczos算法
• 2.3.1 Lanczos算法及收敛性分析
• 2.3.2 Lanczos算法的执行
• 2.4 本章小结
• 第3章 EM-Lanczos算法
• 3.1 EM算法
• 3.1.1 EM算法
• 3.1.2 修正EM算法
• 3.2 EM-Lanczos算法
• 3.3 数值实验
• 3.4 本章小结
• 第4章 EM-Lanczos算法在Hamilton矩阵中的应用
• 4.1 Hamilton矩阵
• 4.2 Hamilton矩阵的辛EM-Lanczos算法
• 4.2.1 平方正定Hamilton矩阵
• 4.2.2 平方辛Lanczos算法
• 4.2.3 平方辛EM-Lanczos算法
• 4.3 数值实验
• 4.4 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 致谢