带自由界面光波导中的泄漏模—渐近解分析

论文摘要

本文主要对带自由界面的三层平面光波导中泄漏模的渐近解进行了一定的分析。在光波导中，光传输的波动方程可以从麦克斯韦方程得到，再经过傅立叶变换，最终可以将波动方程转化为Helmholtz方程。原始的二维Helmholtz方程为：ρ（?）/（?）z（1/ρ（?）u/（?）z）+ρ（?）/（?）x（1/ρ（?）u/（?）x）+κ（z，z）2n（z，x）2u=0，其中（z，x）定义域为：{（z，x）|0＜z＜+∞，-∞＜x＜+∞}。本文研究的是带自由弯曲界面的情形，并且在各层中所研究的介质是均匀的。首先，由于原始问题中的x是无界的，不能用数值方法有效地解决，因此就人为引进边界条件，将无界问题转化为有界问题。由于要研究的问题在一般情况下是个弯曲界面，分析过程是比较复杂的。因此，为了突出渐近分析，首先在平坦界面下对问题进行研究，一方面，平坦界面情形下，可以比较容易地导出精确的特征方程，使得我们能把更多的精力放在渐近方法的研究上；另一方面，研究弯曲界面的时候，可以将平坦界面情形的结果作为衡量曲线情形结果的一个尺度，理论上，当曲线退化为直线时，曲线情形下的结果应该跟直线情形一致。在研究自由弯曲界面时，可以用传统的方法如折线法，可是这种方法如果分段比较粗容易产生比较大的误差，而如果分段太细则计算量又太大，因此不是很理想的方法。所以，在各层采用局部正交坐标变换，将弯曲界面“拉直”，从而使得转化后的问题具有平坦界面。在局部正交变换中，构造函数：（?）=f（x，z），（?）=g（x，z）使它们满足正交条件和边界（界面）条件，同时，为了使变换后的方程不含有V?项，令u=WV，即得到的变换之后的方程为：V?+αV?+βV?+γV=0，然后考虑其特征方程：αφ″（（?））+βφ′（（?））+（γ-λ2）φ（（?））=0，由于界面曲线波动非常小，可以近似认为β≈0，这样一来，特征方程就被近似转化为αφ″（（?））+（γ-λ2）φ（（?））≈0。接着，我们利用WKB方法近似处理这个特征方程。令φ（（?））=A（（?））eiφ（（?）），代入特征方程后，在假设|（A″（（?）））/（κ2（（?））A（（?）））|＜＜1之下，可以得到特征方程的近似解，这个近似解中含有两个未知参数，当然也含有特征值。由于在所划分的四层中，变换各不相同，近似解中含有的未知参数也各不相同，这样就有了八个未知参数，需要八个方程来确定。除了给定的边界条件和界面条件一共六个外，还人为再加了一个界面条件，这个条件其实也是很显然的。对这八个方程进行了处理后，推出一个比较复杂的仅含特征值的方程，所幸，这个特征值方程的形式与平坦界面下的特征值方程的形式非常相似，于是就仿造平坦界面的处理方式对它进行了处理。其中，为了使最后的渐近解具有比较好的形式，我们做了一定近似处理，但是这些近似都是误差很小的，因而也是可行的。导出渐近解后，我们一方面考察它在极限情形下与直线的一致性，另一方面，考察它与特征值精确解的误差。最后，我们发现，前者的一致性非常好，而后者的误差在界面波动很小的时候误差很小，而当界面波动比较大时，效果比理想的偏差大了点，也许这跟推导过程中一系列近似处理有关系。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言
• 第二章 平坦界面情形下的渐近解分析
• 2.1 基本方程
• 2.2 渐近解分析
• 2.3 数值结果
• 第三章 弯曲自由界面情形的预处理
• 3.1 基本方程
• 3.2 局部坐标变换
• 3.3 新坐标系下的方程及其边界（界面）条件
• 第四章 WKB方法和特征值问题
• 4.1 WKB方法
• 4.2 特征值问题
• 第五章 自由界面情形下的渐近解分析
• 第六章 数值模拟结果
• 6.1 渐近解在极限情况下的表现
• 6.2 渐近解误差分析
• 第七章 总结
• 参考文献
• 致谢