Hopf π-余代数上的Doi-Hopf模及辫子T-代数

论文摘要

Hopf π-余代数是V.G.Turaev在研究3维流形及上链环上主π-丛的Heningslike与Kuperberg-like不变量的基础上引进的一类代数结构,是Hopf代数的推广,其中π为一离散群。本文主要讨论Hopf π-余代数上的Doi-Hopf模的Maschke型定理、Frobenius性质,同时把这两个结果推广到entwined π-模.V.G.Turaev引进了模的crossed π-范畴（根据M.Zunino简称为T-范畴）,并且证明了这一范畴能提升到带有目标空间K（π,1）的三维同伦量子场理论。本文最后讨论了T-代数的性质,得到T-范畴的一个例子:T-代数上的余表示范畴。 第一节,引进本文用到的概念,记号及一些例子。 第二节,首先引进了标准的π-积分的概念（定义2.1）.由此给出了Hopf π-余代数上的Doi-Hopf模的Maschke型定理,即定理2.7:设（H,A,C）为Doi-Hopf π-datum,如果存在一个（H,A,C）的标准π-积分{φα∶Cα-1（?）A1→Cα*（?）A1}α∈π,那么下列结论成立 （1） CMAπ中态射u={uα∶Nα→Mα}α∈π在范畴CMAπ中有保核收缩（截面）,如果A1-模同态u1∶Nα→Mα在范畴MA1中有保核收缩（截面）; （2） 设M∈CMAπ,如果M1作为A1-模是半单的,那么M作为CMAπ中的对象也是半单的。 容易得到以下结论:王栓宏的Hopf π-余代数上的相关Hopf模的Maschke型定理是定理2.7的特例,是相关结论的推广。 作为定理2.7的应用,刻画了Doi-Hopf π-模中的投射A-模（推论2.9）,同时也刻画了遗忘函子F:CMAπ→MA1的可分性（定理2.12）。 最后,把Doi-Hopf π-模的Maschke型定理推广到entwined π-模（定理2.18）。 第三节,给出了遗忘函子F∶CMAπ→MA1成为Frobenius函子的几个等价条件。本节的一个重要结果是定理3.3:设（H,A,C）为Doi-Hopf π-数据,C为有限型的π-余代数,那么下列等价。 （1） 函子G={Cα（?）·}α∈π∶MA1→CMAπ是遗忘函子F∶CMAπ→MA1的左伴随函子。

论文目录

• 中文摘要
• ABSTRACT
• 引言
• §1 基本概念
• §2 Doi-Hopf π-模和entwined π-模的Maschke型定理
• §2.1 π-积分
• §2.2 Doi-Hopf π-模的Maschke型定理
• §2.3 Maschke型定理的应用
• §2.4 Entwined π-模的Maschke型定理
• §3 Doi-Hopf π-模和entwined π-模的Frobenius性质
• §3.1 Doi-Hopf π-模Probenius性质
• §3.2 Entwined π-模的Frobenius性质
• §4 Braided T-代数
• §4.1 基本定义
• §4.2 辫子T-代数H的一些性质
• §4.3 辫子T-代数H的余表示范畴Corep（H）是辫子的
• §4.4 一个辫子T-代数的例子
• 参考文献
• 致谢
• 攻读学位期间发表及完成的学术论文