几类群集系统的稳定性分析

论文摘要

近年来,群集的研究已成为国际上系统和控制领域富有挑战性的前沿方向之一。群集是一个复杂系统,具有自组织涌现、非集中式控制和局部相互作用等特征。群集的研究受到社会性生物集体行为的启发。一方面,它是理解生物复杂性的一个可能的途径;另一方面旨在由分布式方式发展人工群集系统,如多自主移动机器人系统。群集的研究在控制理论和工程应用上都具有重要意义,相关的研究工作和新的理论不断出现,新的更深入的问题也被不断提出,亟待解决。在此背景下,本论文介绍了相关的研究现状,深入研究了群集系统的动态特征、稳定性和群集建模问题,主要分为以下三个方面:一、对由拉格朗日方程组描述的一阶连续群集系统,个体之间具有吸引和排斥作用,其互相作用形成了群集系统的耦合拓扑。我们研究了群集在一般有向有权耦合情况下的动态特征、稳定条件与系统耦合拓扑的关系,给出了由系统耦合矩阵的特征量表征的稳定边界。在n维欧几里得空间中,当群集的耦合拓扑是任意强连通的,不论该权重中心运动与否,我们证明了群集将会在一个有限的过程内,全局指数收敛到一个以群集权重中心为中心的超球中,深入揭示了群集的动态特征和耦合拓扑之间的定量关系。二、对由拉格朗日方程组描述的二阶连续群集系统,系统个体之间除了具有位置项的耦合外,还具有速度项的耦合。和一阶系统不同,二阶系统的稳定性和运动特征除了和系统的耦合拓扑有关外,还和系统的速度项增益与位置项增益有很大关系。我们研究了群集在一般耦合拓扑下的稳定性,其速度耦合拓扑与位置耦合拓扑可以是不同的,且都不必是平衡耦合的。我们在系统的速度耦合拓扑或者位置耦合拓扑之一是强连通的情形下,给出了系统的稳定性判据及其证明。相关的定理可以作为设计系统的速度项增益与位置项增益的方法。我们还证明了,当速度耦合与位置耦合相同且是平衡耦合的情形下,现有结论是我们结论的特例。三、在对离散群集系统的研究上,我们提出了群集的自适应速度模型。尽管当前离散群集的研究引起了很大关注,但是大部分的研究工作是基于常速率模型的,即模型中的所有个体的运动速率是常数。自适应速度包括自适应速率和自适应方向两个方面,具体为:群集中的每一个个体不仅调整其运动方向,而且根据其邻居的运动方向的一致性程度来调整其自身速率。该模型的一个重要特征是,经过一个短暂的暂态过程,所有个体的速率自适应地演化到同一个最大速率值。我们研究了该模型的涌现行为,比较了自适应速度模型和经典的常速率模型的差别。群集的自适应速度策略可以大幅度提高系统的涌现行为和收敛概率,为研究生物群集和技术群集系统提供新的有力的机制。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 引言
• 1.1 研究背景和意义
• 1.2 相关研究现状概述
• 1.2.1 研究问题分类
• 1.2.2 研究方法分类
• 1.2.3 连续群集系统的稳定性研究
• 1.2.4 离散群集系统的研究
• 1.2.5 连续流系统的分析
• 1.3 本文的研究内容、取得的研究成果及其创新性
• 1.3.1 一般拓扑下一阶连续群集系统的研究
• 1.3.2 一般拓扑下二阶连续群集系统的研究
• 1.3.3 离散群集系统的研究
• 1.4 论文结构
• 第二章 预备知识
• 2.1 引言
• 2.2 拓扑图论
• 2.3 HAMILTON 微分算子
• 2.4 矩阵相关理论
• 2.4.1 Gersgorin 圆盘定理
• 2.4.2 代数连通性
• 2.4.3 矩阵的可约性
• 2.4.4 矩阵的Kronecker 积或张量积（tensor product）
• 第三章 一般拓扑下的一阶连续群集系统的分析
• 3.1 引言
• 3.2 问题描述
• 3.2.1 原有模型及其分析
• 3.2.2 一般耦合拓扑下的群集问题描述
• 3.3 群集的权重中心和几何中心的运动特征
• 3.4 稳定性描述
• 3.5 群集在空间势场环境中的稳定性分析
• 3.6 群集在变化势场环境中的运动情形
• 3.7 群集无约束环境中的稳定性分析
• 3.8 群集的耦合拓扑、空间环境和群集初始位置对群集运动的影响
• 3.9 群集在不同耦合拓扑情况下的特征
• 3.9.1 一般不可约耦合
• 3.9.2 一般加权平衡耦合
• 3.9.3 相互耦合
• 3.9.4 弱对称耦合
• 3.9.5 对称耦合
• 3.9.6 均匀全耦合
• 3.9.7 对强连通耦合假设的讨论
• 3.10 本章总结和研究展望
• 第四章 一般拓扑下的二阶连续群集系统的分析
• 4.1 引言
• 4.2 模型描述
• 4.2.1 系统在不同参数下的运动
• 4.3 系统变换
• 4.3.1 基于速度耦合矩阵和惯性矩阵的变换
• 4.3.2 基于位置耦合矩阵和惯性矩阵的变换
• 4.4 系统在一般强连通耦合情形下的稳定性分析
• 4.4.1 基于速度耦合矩阵和惯性矩阵的变换
• 4.4.2 基于位置耦合矩阵和惯性矩阵的变换
• 4.4.3 系统在一般耦合情形下完全解耦的条件
• 4.5 系统在速度耦合与位置耦合拓扑相同情形下的稳定性分析
• 4.5.2 和文献结果的比较
• 4.6 本章总结和研究展望
• 第五章 离散群集系统的建模和分析
• 5.1 引言
• 5.2 常速率模型
• 5.2.1 模型描述
• 5.2.2 序参量
• 5.3 自适应速度模型
• 5.4 系统的涌现行为分析
• 5.4.1 系统初始和终止条件
• 5.4.2 个体动态速率的演化规律
• 5.4.3 系统参数对涌现行为的影响
• 5.5 本章总结和研究展望
• 第六章 总结与展望
• 6.1 本文总结
• 6.2 研究展望
• 参考文献
• 附录一 符号与标记
• 攻读博士学位期间已发表或录用的论文
• 攻读博士学位期间参与的科研项目